Physikaufgabe spezielle Relativitätstheorie?
Ermitteln Sie die Geschwindigkeit, auf die ein Elektron aus der Ruhe heraus beschleunigt wird, wenn es in einem homogenen elektrischen Längsfeld die Spannung U = 300kV durchläuft.
Mein erster Schritt war, die Formel E = U * e anzuwenden und damit E = 300000eV zu berechnen. Wie gehe ich weiter vor?
3 Antworten
Hallo Lini1804,
die Aufgabe ist eigentlich ziemlich "geradeaus":
... wenn es in einem homogenen elektrischen Längsfeld die Spannung U = 300kV durchläuft.
Mein erster Schritt war, die Formel E = U * e anzuwenden und damit E = 300000eV zu berechnen.
Das ist völlig korrekt, nur würde ich das anders schreiben, nämlich als Eₖ = 3×10⁵ eV oder 300 keV.
Jetzt brauchst Du nur noch die Ruheenergie E₀ = mₑc² des Elektrons, am besten auch in eV. Die beträgt knapp 511 keV. Zusammen ist also
(1) E = E₀ + Eₖ = 811 keV,
und wir wissen, dass das Verhältnis zwischen E und E₀ nichts anderes ist als der berühmte LORENTZ- Faktor
(2.1) E⁄E₀ = γ := 1/√{1 − (v⁄c)²}.
Ausquadrieren und Kehrwert bilden:
(2.2) (E₀⁄E)² = 1 − v²⁄c²
nach v² umstellen:
(2.3) v² = c²∙(1 − (E₀⁄E)²)
Wurzel draus (die negative Lösung ist unphysikalisch):
(2.4) v = c∙√{1 − (E₀⁄E)²}
Abb. 1: Der raumzeitliche Impuls: Energie und Ruheenergie
Jetzt fehlen nur noch die Zahlen. Ich überschlage gern erst mal ohne TR:
511⁄811 ≈ ⅝, und (⅝)² = 25⁄64, 1 − 25⁄64 = 39⁄64.
Leider ist 39 keine Quadratzahl, aber 6¼ = 25⁄4 kommt der Quadratwurzel nahe, weil 3 = 2∙6∙¼ ist (1. Binomische Formel).
Die Wurzel ist daher etwa 6,25/8 bzw. 25⁄32, und daher kommt 25⁄32∙c ≈ 0,78∙c der Lösung nahe.
Mit TR kommen wir auf etwa 0,7765∙c. Wer unbedingt will, mag dies noch in m⁄s umrechnen.
Du kennst die kinetische Energie des Elektrons.
Hier hast du die Formel für die relativistische Energie die musst du nach v Umformen.
Lösungsvorschlag:
Wges = W ruhe + Wkin
= 511 keV + 300 keV = m(dynamisch) c²
811/511 ist also 1/sqr(1-(v²/c²))
Hab als Ergebnis 0,777 c, hab mich aber schon häufig verrechnet...