Physik System Formel für Kopf und Zahl?
Hallo,
ich lerne gerade selbständig Physik und dort beginnt es mit der Beschreibung mit einem System mit zwei 'states'. Es handelt sich dabei um eine Münze, welche das dazugehörige deterministische System hat, dass sich Zahl und Kopf immer abwechseln. (Classical Mechanics) Um dies nun mathematisch zu beschreiben stellen wir folgende Gleichung auf:
σ = 1 (für Kopf)
σ = -1 (für Zahl)
n = Der Zustand des Systems zu einem gewissen Zeitupunkt t
σ(n + 1) = -σ(n)
Nun setze ich für n = 1 ein wodruch wir erhalten, 1 = Zahl und 2 = Kopf:
σ(2) = -σ(1)
Wenn ich jetzt jedoch n = 2 setze erhalte ich das genau gegenteil, nämlich 2 = Zahl und somit 3 = Kopf.
Daher muss ich entweder die Defenition nach jeder Berechnung ändern oder die Gleichung zu
-σ(n+1) = σ(n)
umändern.
Jedoch stört mich daran, dass man dazu die Logik aus der Gleichung herauslesen muss, was bei einer so einfachen Gleichung einfach ist. Jedoch stelle ich mir das bei einer sehr kompliziertzen Gleichung schwieriger vor.
Wie kann ich daher ohne die Ursprungsgleichung σ(n + 1) = -σ(n) zu ändern 'state' 2, welcher ja aus der ersten Berechnung her Kopf sein sollte und ohne die Definition zu ändern nun aus 'state' 2 heraus 'state' 3 berechnen?
Des Weiteren hängt die Gleichung stark davon ab, ob man mit einer geraden Zahl von n beginnt, wodruch alle geraden Zahlen - Zahl - ergeben und alle ungeraden Kopf. Oder ob man mit einer ungeraden Zahl beginnt, wodruch alle ungeraden Zahlen - Zahl - ergibt und gerade Zahlen Kopf. Also genau andersherum.
Kann ich das berechnen oder ist die Gleichung einfach unvollständig und der Autor wollte einfach nur demonstrieren, wie man so ein System mathematisch beschreiben könnnte. Wie könnte, wenn dies der Fall wäre, jedoch eine Gleichung aussehen, die die obenen beschriebenen Vorgehensweisen beinhaltet.
Vielen Dank im Vorraus!
2 Antworten
Du irrst dich. Die Gleichung σ(n + 1) = -σ(n) ist (neben der Kenntnis des Anfangszustand) vollkommen ausreichend.
Daher muss ich entweder die Defenition nach jeder Berechnung ändern oder die Gleichung zu
-σ(n+1) = σ(n)
umändern.
Wozu? Die Gleichung -σ(n+1) = σ(n) ist doch vollkommen äquivalent zur Gleichung σ(n+1) = -σ(n). Da wurde doch quasi nichts verändert. Warum willst du die entsprechend umformen? Schließlich möchtest du doch auch jeweils den nächsten Zustand σ(n+1) wissen, sodass es doch auch sinnvoll ist die Gleichung nach σ(n+1) aufgelöst zu haben, statt nach -σ(n+1) aufgelöst.
Vermutlich hast du den Denkfehler, dass du denkst, dass σ(n+1) bzw. σ(n) immer positiv sein müssen (also hier immer gleich 1). Das ist jedoch nicht der Fall. Wenn man -σ(n) hat, muss das -σ(n) nicht unbedingt negativ sein, sondern kann durchaus auch positiv sein, wenn σ(n) negativ ist. So ist beispielsweise für σ(n) = -1 dann -σ(n) = -(-1) = 1 positiv.
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Durch Einsetzen konkreter Zahlen (1, 2, 3, ...) für n erhält man aus der gegebenen Gleichung σ(n + 1) = -σ(n) die Gleichungen...
Wenn man nun beispielsweise davon ausgeht, dass der erste Wurf „Zahl“ zeigt, also σ(1) = -1 ist, erhält man dann dementsprechend für die nächsten Zustände...
Ohne da irgendwas geändert zu haben (außer das passende n einzusetzen), hat man so aus Zustand 1 den Zustand 2, aus Zustand 2 den Zustand 3, aus Zustand 3 den Zustand 4, etc. erhalten.
Du schreibst, dass " -σ(n) nicht unbedingt negativ sein". Das stimmt. Jedoch, so weit ich das verstand habe, versuchst du durch einsetzen von -1 den vergangenen Zustand vom System zu berechnen. Ist das korrekt?
Nein. Ich habe einen vorigen Zustand gegeben, und möchte daraus den nächsten Zustand berechnen. Ich habe beispielsweise den ersten Zustand σ(1) gegeben und möchte daraus als nächstes den zweiten Zustand σ(2) berechnen.
−σ(1) entspricht -1, was für Zahl steht.
Nein. In dem von mir genannten Beispiel ist σ(1) = -1. Es ist NICHT -σ(1) = -1. Sondern wenn man σ(1) = -1 in -σ(1) einsetzt erhält man -σ(1) = -(-1), also -σ(1) = +1.
σ(1) beschreibt den ersten Zustand, nicht -σ(1). Der erste Zustand ist „Zahl“ wegen σ(1) = -1, nicht wegen -σ(1).
ist −σ(2) gleich -1, da -(2) gleich -2 ist (somit eine negative Zahl), und somit Zahl darstellen soll. Jedoch haben wir doch gerade für Zwei berechnet, dass dies Kopf ergeben soll.
Wie kommst du von −σ(2) auf -(2)? Es ist doch NICHT σ(2) = 2. Es ist σ(2) = 1. Wenn man dementsprechend bei −σ(2) dann σ(2) = 1 einsetzt, erhält man -σ(2) = -1. [Einfach das σ(2) bei −σ(2) durch den Wert 1 ersetzt.]
-1 soll dort ja Zahl darstellen. Du setzt dieses Wissen, dass der Anfangszustand Zahl ist in -(Zustand) = neuer Zustand ein. Somit erhältst du immer genau das Gegenteil. Für mich sieht das aber eher wie eine neue Gleichung aus und ich sehe nicht den Zusammenhang zu σ(2)=−σ(1). Nur die Logik bleibt die gleiche, dass sich der Zustand immer zum Gegenteil verändert.
„-(Zustand) = neuer Zustand“ genau darum geht es. Bzw. wird das in der Gleichung der Aufgabenstellung eher als „neuer Zustand = -(Zustand)“ aufgeschrieben.
Du hast jeweils einen aktuellen Zustand, nämlich σ(n) für den Zustand beim n-ten Wurf. Und daraus erhält man dann den nächsten Zustand σ(n + 1) beim (n+1)-ten Wurf.
„neuer Zustand = -(Zustand)“
Wenn man dort nun „neuer Zustand“ durch die formale Schreibweise σ(n + 1) und den aktuellen „Zustand“ durch die formale Schreibweise σ(n) ersetzt, erhält man genau die gegebene Gleichung...
σ(n + 1) = -σ(n)
Es bleibt immer diese Gleichung. Ich sehe nicht, wo du da irgendetwas Gegenteiliges siehst.
Dementsprechend hat man (nach einsetzen konkreter Zahlen für n)...
- σ(2) = -σ(1) für n = 1 [Den zweiten Zustand σ(2) erhält man aus dem ersten Zustand σ(1), indem man das Vorzeichen ändert.]
- σ(3) = -σ(2) für n = 2 [Den dritten Zustand σ(3) erhält man aus dem zweiten Zustand σ(2), indem man das Vorzeichen ändert.]
- σ(4) = -σ(3) für n = 3 [Den vierten Zustand σ(4) erhält man aus dem dritten Zustand σ(3), indem man das Vorzeichen ändert.]
Das ist immer die gleiche Gleichung σ(n + 1) = -σ(n), nur für unterschiedliche Werte n. Und es steckt immer die gleiche Logik dahinter.
Ahh...
Vielen Dank mihisu!
Nun wird es verständlich.
Mein Fehler lag darin, dass ich -σ = Zahl (-σ für Zahl) gehalten habe und σ = Kopf (σ für Kopf gehalten habe), obwohl wir ja definiert haben, dass σ = 1 Kopf ist und σ = -1 Zahl ist.
Das war einer meiner ersten (oder sogar die erste) Physikgleichung und ich wurde durch die ganzen neuen variablen und den dazu gennanten Zustand verwirrt.
n repräsentiert somit nur den 'state' in dem wir uns gerade befinden und beschreibt nicht direkt ob es sich um Zahl oder Kopf handelt. Dies beschreibt σ. Daher muss man den Anfangszustand, welchen man gemessen hat in σ einsetzen und dann wird es verständlich, denn die rechte Seite der Gleichung beschreibt immer genau das Gegenteil von dem, was man gemessen hatte (oder eingesetzt).
Somit würde es nun ohne Variablen heißen:
= -( [Wir haben Zahl gemessen, daher setzen wir -1 für σ ein) -1( [n beschreibt nur den 'state' als Hilfe, damit wir wissen, in welchem 'state' wir uns befinden] 1).
Somit nun übersichtlich:
= -(-1(1))
Da jedoch -(-1) = 1 ist, stand auf der rechten Seite schon immer genau das Gegenteil, von dem, was ich eingetragen habe. Jedoch kann man so nun sehen, welcher der Anfangszustand ist bzw, dass es immer genau das Gegenteil ist.
Somit macht es dann auch nur Sinn (was mich auch verwirrt hat, dass das 'Ergebnis', welches man berechnet nun auf der linken Seite steht, was soweit ich gesehen habe in der Physik immer so gemacht wird?), dass -(-1) = 1 ergeben muss oder nun in der Formel
[Kopf] 1(n + 1) = -(-1 (n)) [Zahl]
Somit ist die Formel für alle weiteren Berechnung korrekt.
Durch die Festlegung
a(n+1)=-a(n)
wird die Zahlenfolge a(n) iterativ festgelegt. Allerdings muss dazu noch ein Wert, z.B. a(0)=1 festgelegt werden. Zusammen mit der ersten Festlegung würde in diesem Fall folgen
PS: Liest Du das Buch oder schaust die Vorlesung von Leonard Susskind?
Vielen Dank für deine Antwort!
Wenn ich alles richtig Verstanden habe, dann legst du den Anfangszustand fest, also a(0) = 1 (a(0) = (-1)⁰, was a(0) = 1 entspricht). Nun kann man mit deiner neuen Formel jeden folgenden Zustand durch einsetzen von n sofort aus der Formel lesen. Zum Beispiel n = 5 entspricht a(5) = (-1)⁵ was a(5) = -1 entspricht und somit Zahl darstellt.
Wenn du dann den Anfangszustand umdrehen möchtest, also antsatt von a(0) = 1 zu a(0) = -1, dann würde die Formel a(n) = -(-1)hoch n heißen, richtig?
Jedoch ist mir noch etwas unklar, ob du die Formel einfach zur Beschreibung festgelegt hast, oder wie du von a(n+1)=-a(n) auf die Formel gekommen bist.
Ich lese gerade das Buch.
Ja, Du hast das vollkommen richtig verstanden.
Wie man nun von der iterativen Vorschrift mit Anfangsbedingung
a(0)=1
a(n+1)=-a(n)
zu
a(n)=(-1)^n
kommt: man kann das nicht direkt umformen. Aber man kann beweisen, dass aus den ersten beiden Gleichungen die letzte folgt, und zwar mit der Methode der vollst. Induktion (vielleicht kennst Du das von der Schule). In diesem Fall ist das fast etwas übertrieben, aber es würde so gehen:
Gezeigt werden soll also, dass gilt
a(n)=(-1)^n für n=0, 1, 2...
I) Induktionsanfang: Für n=0 stimmt die Behauptung offensichtlich.
II) Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass die Behauptung für eine natürliche Zahl n stimmt (Induktionsannahme). Nun gilt
a(n+1)=-a(n)=-(-1)^n=(-1)^(n+1)
Nach dem 2. Gleichheitszeichen wurde die Induktionsannahme benutzt.
Damit ist gezeigt: Für n=0 stimmt die Behauptung. Und wenn für ein beliebiges n die Behauptung stimmt, stimmt sie auch für n+1. Damit muss die Behauptung für alle n gelten (sie stimmt für n=0, deshalb auch für n=1, deshalb auch für n=2, usw.).
Siehe
Ahh..
Vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Leider ist mir die Induktionsannahme noch nicht bekannt, deine Erklärung war jedoch sehr verständlich.
Was passiert dann, wenn man 0 in die Ursprungsgleichung einsetzt.
In dem Fall sollte doch -a(0), also -a * 0 = 0 und nicht = 1 sein?
(-1)^0 ergbit jedoch 1.
Definierst du a(0)=1 einfach? So als hättest du dies Beobachtet oder gemessen?
Hast du 'Classical Mechanics' von Leonard Susskind gelesen?
Definiert man a(0)=0 (zusammen mit a(n+1)=-a(n)), folgt daraus a(n)=0 für alle n.
Mit der Festlegung
a(n+1)=-a(n)
sind die a(n) noch nicht festgelegt, nur jeweils der Zusammenhang zwischen einem a(n) und dem Nachfolger. Sobald aber zusätzlich ein a(n) für ein beliebiges n definiert wird, sind damit die a(n) für alle n bestimmt.
Nein, das Buch von Leonard Susskind habe ich nicht gelesen. Ich las mal den Beginn von Leonard Susskind's "Quantum Mechanics", da darüber in einem anderen Forum diskutiert wurde (jemand hatte nach einem guten, einführenden QM-Buch gefragt, das nicht allzuzuviel voraussetzt, aber doch korrekt ist). In diesem Buch wird zu Beginn ebenfalls auf ein so einfaches System mit zwei möglichen Zuständen, dort ein Spin-System, eingegangen, und daran habe ich mich erinnert...
Vielen Dank für deine Antwort!
Leider bin ich noch etwas verwirrt bezüglich dem −σ(2).
Du schreibst, dass " -σ(n) nicht unbedingt negativ sein". Das stimmt. Jedoch, so weit ich das verstand habe, versuchst du durch einsetzen von -1 den vergangenen Zustand vom System zu berechnen. Ist das korrekt?
Bei
denke ich folgendes:
−σ(1) entspricht -1, was für Zahl steht.
σ(2) entsprichht 1, da es sich um eine positive Zahl handelt und somit für Kopf steht.
So weit müsste noch alles stimmen?
Jedoch in der Zweiten Zeile dann
ist −σ(2) gleich -1, da -(2) gleich -2 ist (somit eine negative Zahl), und somit Zahl darstellen soll. Jedoch haben wir doch gerade für Zwei berechnet, dass dies Kopf ergeben soll.
Bei der dritten Beschreibung verstehe ich nicht, wie du auf "=−(−1)=1" kommst. Was beschreibst du damit?
-1 soll dort ja Zahl darstellen. Du setzt dieses Wissen, dass der Anfangszustand Zahl ist in -(Zustand) = neuer Zustand ein. Somit erhältst du immer genau das Gegenteil. Für mich sieht das aber eher wie eine neue Gleichung aus und ich sehe nicht den Zusammenhang zu σ(2)=−σ(1). Nur die Logik bleibt die gleiche, dass sich der Zustand immer zum Gegenteil verändert.
Aber, so weit ich sehen kann verändert man die Gleichung nicht dadurch und man braucht auch keinen neuen Definitionsbereich. So weit sieht es für mich leider noch aus, als würde man einfach nur den Zustand wissen und daher die richtige Beschreibung 1 oder -1 einsetzen.
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!