Partielle Integration Herleitung?

Hallo zusammen ich habe ein kleines Problem die partielle Integration zu verstehen.

Die Herleitung soweit ist erst einmal:

u*v = ſ u'*v + ſ u*v' , welches nach u'*v umgestellt wird. Schließlich bestimmt man ein u' und v und der Rest ist dann nur noch das lösen.

Mein Problem ist, dass das Integral doch beide ſ u'*v + ſ u*v' in meiner Denke enthalten sollte. Wir wollen doch die Stammfunktion u*v herausbekommen oder nicht?

Ich hoffe man kann meine Frage soweit ergreifen und ich freue mich über eure Hilfe!

Answer 1

[evtldocha]

Wir möchten doch u*v, sprich die Stammfunktion, herausbekommen?

Nein, u·v ist nicht das, was Du herausbekommen möchtest und es ist schon gar nicht die gesuchte Stammfunktion, sondern nur ein Teil der Stammfunktion. Du möchtest eines der beiden Integrale auf der rechten Seite ausrechnen.

Das Problem startet mit einem Integral, das berechnet werden soll und dann sucht man sich dazu passende u, u', v und v' so, dass man die Regel anwenden kann, um am Ende auf der rechten Seite ein leicht zu lösendes Integral stehen zu haben.

Eine Frage könnte beispielsweise lauten:
Bestimme eine Stammfunktion zu "f(x)=x·e^x".

Mit $u\left(x\right)=x\ \rightarrow\ u'\left(x\right)=1;\ v'\left(x\right)=e^x\rightarrow\ v\left(x\right)=e^x$

erhält man dann in Integralschreibweise und der Regel für die partielle Integration $F(x)=\int f(x)\ dx=\int x\cdot e^xdx\ =\ x\cdot e^x-\int1\cdot e^xdx$

Auf der rechten Seite steht nun plötzlich ein sehr einfaches Integral und damit erhält man dann: $\int x\cdot e^xdx=x\cdot e^x-e^x=e^x\cdot\left(x-1\right)$

und damit als eine gesuchte Stammfunktion von f(x): $F\left(x\right)=e^x\cdot\left(x-1\right)$

Answer 2

[Wechselfreund]

Du beginnst eigentlich mit der Produktregel:

(u*v)' = u'v+uv'

Jetzt integrieren und nutzen, dass Integral (a+b) = Integral a + Integral b ist.

Und dann nach einem Integral auflösen, und da steht die Formel für Produktintegration (auch partielle genannt, da nur ein Teil integriert wird)