Orthonormalbasis Standardskalarprodukt unitär normal selbstadjungiert?
ich weiß was ich mit Matrix A machen soll, aber weißt nicht wie ich auf φ kommen kann.
Was meinst du mit „auf φ kommen“? A ist doch die Matrixrepräsentation von φ
also A und φ sind dasselbe?
2 Antworten
Um das noch mal klar zu machen, die Abbildung φ hat eine Matrixrepräsentation und die ist hier genau A.
Was ist eine Matrixrepräsentation?
Für eine lineare Funktion φ:V->V mit einem n-Dimensionalen Vektorraum V, kann man diese Matrix finden, indem man erst eine Basis (nicht notwendigerweise orthonormal) {e_1,...e_n} von V wählt und sich dann anschaut wie die Abbildung auf die Basis wirkt. Die erhaltenen Koeffizienten fasst man dann in der Matrix zusammen:
φ(e_i)=A_(1,i)e_1+A_(2,i)e_2+...+A_(n,i)e_n
Falls die gewählte Basis orthonormal ist, so kann man die Koeffizienten heraus projizieren mit
A_(j,i)=<e_j,φ(e_i)> wobei < , > das Skalarprodukt auf V ist
In der Matrix ist dann j die Zeile und i die Spalte.
In deinem Beispiel ist V=C^4 und die gewählte Basis die 4 standard kartesischen Koordinaten mit komplexen Koeffizenten. Und da
φ(e_i)=Ae_i=A_(1,i)e_1+A_(2,i)e_2+A_(3,i)e_3+A_(4,i)e_4
ist A direkt die Matrixrepräsentation der Abbildung φ (man könnte sagen A ist gleich φ in der gewählten Basis)
Das Konzept der Matrixrepräsentation lässt sich auch verallgemeinern z.B. auf Homomorphismen von einem Vektorraum in einen anderen Vektorraum, Matrixrepräsentationen sind auch gerne gesehen in der Tensoralgebra, allerdings muss man immer aufpassen in welcher Basis wir uns jetzt befinden.
A und phi sind quasi dasselbe