Transformation Matrix und Punkt berechnen?
Hi ihr Lieben,
ich lerne gerade einige Grundlagen zu Vektoren und Matrizen. In dieser Aufgabe soll ich :
Die Vektoren ⃗x1 = (1,1) und ⃗x2 = (1,−1) bilden eine orthogonale Basis des
R2. Das Ergebnis einer Transformation des Punktes (u,v) in diese Basis lautet
(30,−14). Berechnen Sie u und v.
Ich habe mir folgendes überlegt:
1u + 1v = 30
1u-1v=-14
u=8
v=22
Ich habe einfach ein GLS aufgestellt und die jeweiligen Lösung berechnet?
Ist das so richtig?
1 Antwort
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Angabe richtig verstehe — da steht
Das Ergebnis einer Transformation des Punktes (u,v) in [die von x⃗₁, x⃗₂ aufgespannte Basis] lautet (30, −14).
und ich lese das als: Der Vektor mit den Koordinaten (u,v) bezüglich der Basis e⃗= (1,0) und e⃗₂=(0,1) hat in der Basis x⃗₁=(1,1) und x⃗₂=(1,−1) die Koordinaten (30, −14). Wenn diese Lesung richtig ist, dann stimmt Deine Rechnung leider nicht.
Denn dann kann man den Vektor ja einfach in Komponenten anschreiben, weil jeder Vektor gleich der Summe aus den Produkten Koordinate mal Basisvektor ist:
(u,v) = u⋅x⃗₁ + v⋅x⃗₂ = 30⋅(1,1) + −14⋅(1,−1) = (16, 44)
und das ist auch schon die Lösung. Das können wir machen, weil in dieser Gleichung alle Vektoren bezüglich derselben Basis (nämlich der kartesischen Einheitsbasis e⃗₁ und e⃗₂) gegeben sind.
Was Du dagegen berechnet hast, ist das Umgekehrte: Welche Koordinaten bezüglich x⃗₁ und x⃗₂ hat der (bezüglich e⃗₁ und e⃗₂ gegebene) Vektor (30,−14)?
Aber warte sicherheitshalber, bis jemand kommt, der die in Deiner Aufgabenstellung verwendete Terminologie gewöhnt ist und nicht raten muß.
Danke. Das hat mir schon sehr geholfen, ich werde aber sicherheitshalber nochmal die jeweilige Lehrkraft fragen.