Hilfe! Was wird in Mathematik mit Abgeschlossenheit gemeint?
wenn zb die Menge der ganzen Zahlen bezüglich der Addition, Subtraktion,Multiplikation und dem potenzieren "abgeschlossen" ist?
4 Antworten
Hallo,
Abgeschlossenheit bezüglich einer Rechenoperation wie der Addition oder einer anderen bedeutet, daß das Ergebnis niemals die Menge, für die diese Operation definiert ist, verläßt.
So ist die Menge der natürlichen Zahlen bezüglich der Addition und der Multiplikation abgeschlossen: Wenn Du zwei natürliche Zahlen addierst oder multiplizierst, kommt als Ergebnis wieder eine natürliche Zahl heraus.
Bei der Subtraktion sieht das schon anders aus: 2 und 3 sind natürliche Zahlen. 2-3=-1 ist aber keine natürliche Zahl. Somit ist die Menge der natürlichen Zahlen bezüglich der Subtraktion nicht abgeschlossen. Bezüglich der Division übrigens auch nicht: 2 geteilt durch 3 gleich 2/3 ist keine natürliche Zahl.
Eine abgeschlossene Menge gegenüber allen vier Grundrechenarten ist dagegen die Menge der rationalen Zahlen. Egal, ob Du zwei von ihnen addierst, subtrahierst, multiplizierst oder dividierst - Du bekommst als Ergebnis immer eine rationale Zahl.
Sie ist also hinsichtlich dieser Operationen abgeschlossen.
Die Abgeschlossenheit in bezug auf die Addition und Multiplikation ist übrigens eines der Kriterien, die eine Menge erfüllen muß, um als Körper zu gelten.
Es gehören noch andere Voraussetzungen dazu, etwa die Gültigkeit des Assoziativ- und des Kommutativgesetzes in der Addition und der Multiplikation, die Existenz eines neutralen und eines inversen Elementes usw. - aber das führt zu weit weg.
Es ging ja nur um den Begriff der Abgeschlossenheit.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich überlege gerade, ob es überhaupt eine Menge gibt, die die Null als Element hat und die bezüglich der Division abgeschlossen ist.
Wohl eher nicht.
Einen Körper mit diesen Eigenschaften gibt es sicher nicht, denn es gilt stets 0 * x = 0, was niemals 1 werden kann.
Also können wir höchstens nach einem Ring mit 1 suchen, der diese Eigenschaften erfüllt. Wenn in diesem Ring die Elemente 1 und 0 verschieden sind, kriegen wir aber dasselbe Problem:
0 * x = (1 - 1) * x = x - x = 0. Insbesondere besitzt 0 auch hier kein Inverses.
D.h. in unserem Ring sollte besser 1 = 0 gelten. Dann stimmt die obere Rechnung aber immer noch und für ein beliebiges x aus dem Ring folgt:
x = x * 1 = x * 0 = 0.
D.h. der einzige Ring, der überhaupt abgeschlossen unter "Division" sein kann, ist der triviale Ring {0}, wenn ich mich nicht irgendwo vertan habe.
Die ganzen Zahlen sind in bezug auf das Potenzieren übrigens nicht abgeschlossen. Überlege mal, warum.
Sind sie nichtt? 5^2 zb ist doch 25 und 25 ist eine ganze Zahl?oder habe ich da was falsch verstandne?
D.h. dass Plus und Minus denselben Vektorraum erschließen wie etwaige Potenziermöglichkeiten mit Hilfe der komplexen Zahlen.
Also ich bin in der 9ten Schulstufe und wir haben Vektoren noch nicht gemacht. Kannst du es vllt leichter erklären?
Ja. Wenn du 1 Apfel und 2,5 Birnen hast, kannst du morgen Obstsalat essen oder zur Pediga nach Drese´den. Ich bin ein kleiner Packesel mit Zitzen wie bei Oma.
Am besten am Beispiel:
Die Natürlichen Zahlen N sind abgeschlossen bzgl Addition und Multiplikation. Wenn du zwei natürliche Zahlen addierst oder multiplizierst, erhältst du als Ergebnis wieder eine natürliche Zahl.
Sie sind nicht abgeschlossen bzgl. Subtraktion, denn z.B. 3 - 4 = -1 ist nicht mehr in der Menge der Natürlichen Zahlen. Wohl aber in den ganzen Zahlen. Die Menge Z der ganzen Zahlen ist bzgl. Addition, Multiplikation und Subtraktion abgeschlossen.
Die ganzen Zahlen Z sind nicht abgeschlossen bzgl. Division, denn 1/3 ist keine ganze Zahl. Es ist aber eine rationale Zahl, damit erhältst du die nächste Erweiterung Q.
das heißt zB in Z bzgl Addition, dass
wenn du 2 Zahlen aus Z addierst, dann die Lösung wieder in Z liegt.
Fast; 0 ist auch eine rationale Zahl, aber da war was mit Division und 0... ;) Aber sonst eine sehr gute Erklärung!