Nichtleere & beschränkte Intervalle in ℝ können als Vereinigung von abzählbar vielen abgeschlossenen Intervallen der Form I=[a,b] a,b aus ℝ dargestellt werden?
Guten Abend Sportsfreunde,
in der Analysis haben wir diese Aufgaben erhalten:
Beweisen Sie: Jedes nichtleere und beschränkte Intervall in ℝ kann auch dargestellt werden als Vereinigung von abzählbar vielen abgeschlossenen Intervallen der Form I = [a, b] mit a, b ∈ ℝ.
Jedoch habe ich keinerlei Ideen/Ansätze für die Aufgabe. Ich weiß, wie das Ergebnis aussehen könnte, da ich mir unter der Vereinigung abgeschlossener Intervalle etwas vorstellen kann. Eigentlich kann ich mit allen Begriffen etwas anfangen, aber wie soll man hier starten? Hat jemand eine Idee?
Ich bin dankbar für jede Hilfe. Habt einen angenehmen Abend:)
1 Antwort
Interessant sind hier ja nur die offenen bzw. halboffenen Intervalle, bei den anderen ist das ja quasi schon erledigt. Eine wichtige Sache: Jedes beschränkte und nichtleere Intervall hat eine kleinste untere und größte obere Schranke. Bei den offenen/halboffenen Intervallen liegt diese Schranke aber eben nicht unbedingt drin, man kann sich ihr aber beliebig nähern.
Angenommen, du hast z. B. das Intervall ]0,1[. Wie kannst du das mit abzählbar vielen Intervallen sozusagen ausschöpfen? Du musst dich ja dem "Rand" beliebig nähern. Kannst du in abzählbar vielen Schritten beliebig nahe an 0 bzw. 1 herankommen? Wie machst du das?
Zu den abgeschlossenen Intervallen: Angenommen, ich habe ein Intervall [a,b]. Dann sei M = {[a,b]} eine abzählbare Menge von abgeschlossenen Intervallen und es gilt
da bleibt also nix zu tun. Endlich ist auch abzählbar!
Jedes abgeschlossene Intervall ist bereits gleich seiner selbst, da muss ich nix mehr mit irgendwas vereinigen. Und aufteilen ist nicht unbedingt notwendig, die Intervalle die du dann vereinigst, müssen nicht disjunkt sein. Damit würdest du dir das nur erschweren.
Folgen sind eine gute Idee. Stell dir mal vor, du fängst mit [1/3, 2/3] an.
Ich habe gerade mit meinem Übungsgruppenleiter auch noch einmal darüber gesprochen. Der hat mir das auch gesagt. Ich muss es nur formal richtig aufschreiben, die Grundidee habe ich verstanden. Vielen Dank
Vielleicht kann ich mir Folgen kreieren und mit dem Limes arbeiten, um beliebig nahe an 0 und 1 zu kommen. So wie ich das verstehe soll ich ein Intervall beliebig oft aufteilen und diese Aufteilung soll aussehen wie eine Vereinigung abzählbar vieler abgeschlossener Intervalle.
Warum sind denn eigentlich die abgeschlossenen Intervalle uninteressant bezüglich dieser Aufgabe?