Mittelpunkt dreier Y Kooardinaten?

Hey,

Ich wollte fragen, wie man einen Punkt findet, der zu allen drein Y Kooadinaten dem nähesten Abstand hat.

Beispielsweise 5 8 und 4

Einfach addieren und durch 3 teilen?

Answer 1

[mihisu]

Definiere genauer, was du mit „zu allen drei y-Koordinaten den nähesten Abstand hat“ meinst. Du solltest genauer klären, was kleinstmöglich werden soll...

Gemeint sein könnte beispielsweise...

1. Der größte Abstand soll so klein wie möglich sein.
2. Der arithmetische Mittelwert der Abstände sollte so klein wie möglich sein.
3. Die mittlere quadratische Abweichung soll so klein wie möglich sein.

Im Folgenden werde ich noch (ganz kurz) auf einige der genannten Möglichkeiten etwas näher ein. Zunächst einmal werde ich jedoch kurz eine Nebenrechnung zu deinem Vorschlag mit „addieren und durch 3 teilen“ aufschreiben.

Wenn du die Werte addierst und durch 3 teilst, erhältst du den arithmetischen Mittelwert der y-Werte...

$\overline{y}_\text{arith} = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}=\frac{5+8+4}{3}=5\text{,}\overline{6}$

Die Abstände dieses arithmetischen Wertes von den gegebenen y-Werten sind...

${\Delta y}_1=\left\lvert y_1-\overline{y}_\text{arith}\right\rvert=\left\lvert 5-5\text{,}\overline{6}\right\rvert=\left\lvert -0\text{,}\overline{6}\right\rvert=0\text{,}\overline{6}$

${\Delta y}_2=\left\lvert y_2-\overline{y}_\text{arith}\right\rvert=\left\lvert 8-5\text{,}\overline{6}\right\rvert=\left\lvert 2\text{,}\overline{3}\right\rvert=2\text{,}\overline{3}$

${\Delta y}_3=\left\lvert y_3-\overline{y}_\text{arith}\right\rvert=\left\lvert 4-5\text{,}\overline{6}\right\rvert=\left\lvert -1\text{,}\overline{6}\right\rvert=1\text{,}\overline{6}$

Im Folgenden vergleiche ich das mit dem y-Wert, der die Bedingung (bei den von mir genannten Beispielfällen 1. bis 3.) erfüllt. Dabei gehe ich aber in den meisten Fällen erst einmal nicht genauer darauf ein, wie ich diesen y-Wert berechnet habe. Wenn dir klar wird, welchen der Fälle du meinst, kannst du ja für diesen Fall nochmal den Rechenweg erfragen.

==== Zu 1. ====

Der größte Abstand wird für

$\overline{y}=\frac{8+4}{2}=6$

minimal. Da erhält man die Abstände

${\Delta y}_1=\left\lvert 5 - 6\right\rvert=1$

${\Delta y}_2=\left\lvert 8 - 6\right\rvert=2$

${\Delta y}_3=\left\lvert 4 - 6\right\rvert=2$

Der größte Abstand ist hier 2. [Im Gegensatz dazu wäre bei deinem Vorschlag mit dem arithmetischen Mittelwert der größte Abstand mit 2,666... etwas größer.]

==== Zu 2. ====

Der arithmetische Mittelwert der Abstände wird für

$\overline{y}=5$

minimal. Da erhält man die Abstände

${\Delta y}_1 = \left\lvert 5-5\right\rvert=0$

${\Delta y}_2 = \left\lvert 8-5\right\rvert=3$

${\Delta y}_3 = \left\lvert 4-5\right\rvert=1$

Deren arithmetischer Mittelwert ist 1,333....

Zum Vergleich wäre bei y = 5,666... der arithmetische Mittelwert der Abstände mit 1,555... etwas größer.

==== Zu 3. ====

Der mittlere quadratische Abweichung wird für den arithmetischen Mittelwert

$\overline{y}=5\text{,}\overline{6}$

minimal. Da erhält man die Abstände

${\Delta y}_{1}=\left\lvert 5-5\text{,}\overline{6}\right\rvert=0\text{,}\overline{6}$

${\Delta y}_{2}=\left\lvert 8-5\text{,}\overline{6}\right\rvert=2\text{,}\overline{3}$

${\Delta y}_{2}=\left\lvert 4-5\text{,}\overline{6}\right\rvert=1\text{,}\overline{3}$

Die mittlere Quadratische Abweichung ist...

$\frac{{\Delta y}_{1}^2+{\Delta y}_{2}^2+{\Delta y}_{3}^2}{3}=2\text{,}\overline{8}$

Comments

[Flo162728281]

Ein Punkt, der zu allen Punkten den nähesten Abstand hat. Hört sich schwer an.

[mihisu]

@Flo162728281

Wie bereits geschrieben... Was meinst du mit „zu allen den nähesten Abstand“? Das ist nicht klar!

============

Der Wert 5 hat beispielsweise zu 5 den kleinsten Abstand, nämlich 0. Näher als mit Abstand 0 geht nicht. Wenn du nun einen beliebigen anderen Wert betrachtest hast du nicht mehr den kleinstmöglichen Abstand zu 5. Damit wäre das „am nähesten bei 5“ für alle anderen Werte außer 5 nicht erfüllt. Nun hat man jedoch auch noch die anderen Werte 8 und 4.

Wenn du also sagst, dass der Punkt „zu allen Punkten den nähesten Abstand“ haben soll, und man dass wortwörtlich nimmt, so ist das nicht erfüllbar. Denn es gibt keinen Wert, der zu allen Werten 5, 8, 4 jeweils den kleinstmöglichen Abstand (gleich 0) hat.

[Flo162728281]

@mihisu

Der größte Abstand soll so klein wie möglich sein.

[Flo162728281]

@Flo162728281

Wieso hast du bei der ersten Methode nur 2 Werte addiert?

[mihisu]

@Flo162728281

Weil man da (hier im eindimensionalen Fall) nur den größten und den kleinsten der Werte betrachten muss. Der entsprechend gesuchte Wert muss dann offensichtlich in der Mitte zwischen diesen beiden Extremwerten liegen.

Answer 2

[gfntom]

Was meinst du mit "Y-Koordinaten"?

Das sind 3, 4 und 8 sind einfach 3 Zahlen. Du suchst die Zahl, bei der die Summe der Differenzen zu den Werten 3, 4 und 8 am geringsten ist?

Das sollte 8 - 3 = 5 sein, also

größter Wert - kleinster Wert

EDIT: das scheint nicht allgemein gültig zu sein. Ich schau noch, wo mein Fehler liegt.

Mein Ansatz war: man ordnet die drei Zahlen aufsteigend: a, b und c

Sinnvollerweise kann der gesuchte Wert x nur zwischen a und c liegen.

Wenn er zwischen a und b liegt, so ist die Summe der Differenzen:
(x-a) + (b-x) + (c-x) = -x - a + b + c
Diese Differenz wird am kleinsten, wenn x am größten wird, also x = b ist.

gleiches gilt, wenn x zwischen b und c liegt:
(x-a) + (x-b) + (c-x) = x - a - b +c , hier muss x am kleinsten sein, also x = b

Es gilt also: die minimale Summe der Differenzen ist c-a, diese wird erreicht, wenn x = b gewählt wird (es kann aber auch noch andere x-Werte geben, für die das gilt)