Mindestens Stochastik Aufgabe?

Zur Reduzierung des CO2-Gehalts in der Industrie stellt eine Firma A Filter zum nachträglichen Einbau her. Der Ausschussanteil bei der Herstellung beträgt 10%. In einem Container befindet sich eine Großlieferung mit 1000 Filtern der Firma A. Wie viele Filter sollte man entnehmen, um mit mindestens 90 %iger Wahrscheinlichkeit wenigstens 12 fehlertreie zu erhalten?

Wie löse ich das? Im Lösungsansatz Buch steht 15 ich bin mit n >= ln(1-a)/ln(1-p) auf 22 gekommen.

Answer 1

[MichaelH77]

Wahrscheinlichkeit für einen fehlerfreien: p=0.9

X = Anzahl der fehlerfreien

Binomialverteilung

$P\left(X\ge12\right)\ge0.9$

umformen:
$1-P\left(X\le11\right)\ge0.9$

daraus dann:

$P\left(X\le11\right)\le0.1$ systematisches Probieren mit dem Taschenrechner (binomcdf bzw. kummulierte Binomialverteilung):

k=11, p=0.9 sind immer gleich, n wird verändert:

n=12: P=0.71
n=13: P=0.38
n=14: P=0.158
n=15: P=0.055
bei n=15 ist die Wahrscheinlichkeit zum ersten Mal unter 0.1, damit ist 15 die gesuchte Anzahl

Comments

[PWolff]

Man könnte auch die "Quantilsfunktion" der Binomialverteilung nehmen, aber die ist so kompliziert zu berechnen, dass man mit Ausprobieren schneller ist.

[MichaelH77]

@PWolff

in der Schulmathematik bis zum Abi sicher nicht

[PWolff]

@MichaelH77

Es sei denn, das ist zufällig ein Steckenpferd des Lehrers.