Mathematik (Optimierungsfunktion)?
Liebe Community, ich weiß einfach nicht weiter.
3 Antworten
Der Innenraum ? Das ist ein Volumen
Quader hier :
x² * h
Das ist die Hauptbedingung HB
Nebenbedingung NB ?
Das Segeltuch mit einer Fläche von
2*hx + 2x² = 8
Nun stellt man um nach h
(8-2x²)/2x = h
und setzt in HB ein
x² * ((8-2x²)/2x)......kürzen
x*(4-x²)
4x - x³ ........das ist die Zielfunktion
Nun ableiten, gleich Null, zweite Ableitung.
h erhält man durch einsetzen des gefunden x in die NB
b) Statt mit 8 rechnet man alles mit a ( einem Paramter durch )
Dann kann man flugs die Tabelle angeben.
Eigentlich kann man das gleich machen und nimmt für a) eben a = 8
Die gesuchte Größe liefert immer die Hauptgleichung (Hauptbedingung) bei Extremwertaufgaben,weil diese ja optimiert werden soll.
Die Hauptgleichung hat mindestens 2 Unbekannte oder auch mehr.Es muß dann eine Unbekannte durch eine Nebengleichnug (Nebenbedingung) ersetzt werden.
Man erhält dann eine Gleichung mit nur eine Unbekannte der Form f(x)=....
Dann muß man die Extrema dieser Funktion f(x)=.. durch eine Kurvendiskussion ermitteln.
1) V=a*b*h=x*x*h=x²*h Volumen eines Quaders,siehe Mathe-Formelbuch,Geometrie
2) O=2*x²+h*x ist die Oberfläche,Nebengleichung (Nebenbedingung)
mit 2) h=(O-2*x²)/x in 1
V(x)=x²*(O-2*x²)/x=O*x-2*x³
V(x)=-2*x³+O*x
nun eine Kurvendiskussion durchführen,um die Extrema zu bestimmen
abgeleitet
V´(x)=-6*x²+O Nullstellen bei x1,2=+/- Wurzel(O/6)=+/-Wurzel(8 m²/6)=+/-1,156 m
wir nehmen x=1,156 m weil x=-1,156 m negativ keinen Sinn ergibt
nun prüfen,ob Maximum oder Minimum
V´´(x)=-12*x eingesetzt V´´(1,156)=-12*1,156=-13,872<0 → Maximum
Prüfe auf Rechen- und Tippfehler
Kurvendiskussion,Infos,vergrößern und/oder herunterladen
Oberfläche
=2*x^2+2*x*h=2*(x^2+xh)=2*x*(x+h)
Volumen:x*x*h=x^2*h
Oberflche ist vorgegeben, sollen 8 m^2 sein.
Also:
8=2x*(x+h)
umstellen nach h:
4/x=x+h
h=4/x-x
Einsetzen in Volumenformel:
V=x^2*h=x^2*(4/x-x)=4x-x^3
nun soll das Volumen maximal sein.
also suche n wir das maixmum von V(x):
V'(x)=4-3x^2=0
3x^2=4
x=+sqrt(4/3)
die negative variante lassen wir weg weil x ja eine seite und damit positiv sein soll.
2 . Ableitung noch testen:
V' '(x)= -6x
Also
V' '(sqrt(4/3))=-6*sqrt(4/3)
das ist definitiv eine negative zahl, also haben wir hier ein Maximum wie gewollt :-)
noch h bestimmen:
h=4/x-x=4/(sqrt(4/3))-sqrt(4/3)
=sqrt(16/(4/3))-sqrt(4/3)
=sqrt(12)-sqrt(4/3)
Das maximale Volumen ist dann damit:
V=x^2*h=(sqrt(4/3))^2*(sqrt(12)-sqrt(4/3))
=4/3*(sqrt(12)-sqrt(4/3))
b) Das selbe Prozedere wie oben nur dass du am Anfang Oberfläche nicht gleich 8, sondern gleich k setzt und das Alles durchrechnest bi zum Shcluss.
Das endergebnis wird dann halt von k abhängen.
und wenn du eben k=4 bspw. einsetzt, kriegst du das zugehörige volumen :-)