Mathematik, Fakultät, n!
Guten Tag, ich habe ein großes Problem zu verstehen, wie man Fakultäten vereinfachen kann. Es ergibt zur Zeit leider keinen Sinn und die Mathebücher sowie das Internet sind ausnahmsweise nicht hilfreich.
Warum kann ich:
(2n+2)! zu (2n!) (2n+1) (2n+2) umschreiben?
3 Antworten
(2n + 2)! ist die Zahl, die entsteht, wenn du die ersten (2n + 2) natürlichen Zahlen miteinander multiplizierst.
Beispiel: n = 1. Dann ist 2n + 2 = 4, also ist
(2n + 2)! = 1 * 2 * 3 * 4.
Die letzten beiden Zahlen, die du dazumultiplizierst, sind offenbar (2n + 1) und (2n + 2).
Das heißt, wir können (2n + 2)! umschreiben als das Produkt von (2n + 1), (2n + 2) sowie dem Produkt der ersten (2n + 2 - 2) Zahlen. Letzteres ist aber (2n)!, daher gilt
(2n + 2)! = (2n)! * (2n + 1) * (2n + 2).
Die Fakultät kannst du ja z. B. so schreiben:
4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 3! * 4
10! = 1 * 2 * 3 * 4 *.... * 9 * 10 = (1 * 2 * 3 * 4 *.... * 9) * 10 = 9! * 10
= (1 * 2 * 3 * 4 *.... * 9) * 10 = ((1 * 2 * 3 * 4 *.... * 8) * 9)) * 10 = 8! * 9 * 10 usw.
d. h. allgemeiner:
n! = (n-1)! * n
So kann man die Fakultät sogar definieren.
Und bei
(2n +2)!
geht das genau so:
(2n +2)! = (2n+2 -1)! * (2n+2) = (2n+1)! * (2n+2)
und nochmal den letzten raus nehmen:
(2n+1)! * (2n+2) = (2n+1 -1)! * (2n+1)(2n+2) = (2n!) * (2n+1)(2n+2)
Klasse Antwort!!! Jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank! Kennt vielleicht noch jemand eine Seite im Internet mit Übungsaufgaben hierzu + Lösungen?
(2n+2)!=1x2x3x...xnx(n+1)x(n+2)x...x2nx(2n+1)x(2n+2)=(2n)!x(2n+1)x(2n+2),
Kann man anstatt (2n+2)! auch 2n! + 2! schreiben?
- selbst das hilft nicht wirklich: Ich weiß, dass:
2! = 1 * 2 sind...
gilt dann:
2n! = 1n * 2n ?
Nein. Es gibt kein "Distributivgesetz" für die Fakultät.
Und genau schreiben:
2n! = 2* (1 * 2 * ... * n)
(2n)! = 1 * 2 * 3 * 4 *.... * (n-1) * n * (n+1) * .... * (2n)
Die Klammern sind wichtig!
Sorry! Verstehe ich immer noch nicht...