Mathegenies gefragt: Flächeninhalt gegeben und funktionssicher gesucht?
Aufgabe: Finde die Funktionsschar die mit den beiden Achsen ein Dreick mit 10 cm(hoch2) einschliesst, Schar: ax+2-2a. und ich verstehe nicht wie ich die rechnen soll und sitze seit 2 stunden dran
5 Antworten
Bei solchen Aufgaben immer zuerst eine Skizze anfertigen. Du wählst dir bestimmte Werte für a, z.B. a=1, a=2, a=3 usw. und lässt den GTR (sofern vorhanden) oder eine Software (z.B. desmos.com) das ganze zeichnen. In dem vorliegenden Fall kannst du es auch einfach selbst zeichnen, weil es eine lineare Funktionsschar ist, deren Graphen Geraden sind.
Man erkennt in der Skizze, dass das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist. Die eine Kathete ist der Abstand zwischen dem Koordinatenursprung und dem Schnittpunkt mit der x-Achse. Die andere Kathete ist der Abstand zwischen dem Koordinatenursprung und dem Schnittpunkt mit der y-Achse.
Berechnung der Nullstelle:
fa(x) = 0
0 = ax+2-2a
ax = 2a-2=2(a-1)
x = 2(a-1)/a
Um sicherstellen zu können, dass die Kathetenlängen positiv sind, setzen wir Betragsstriche: c = |2(a-1)/a|
Der y-Achsenabschnitt ist 2-2a=2(1-a)
Auch hier wollen wir sicherstellen, dass die Kathetenlänge positiv ist, also setzen wir Betragsstriche: d = |2(1-a)|
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist:
A = 1/2 c d = 1/2 |2(a-1)/a| |2(1-a)| = 1/2 * 2 * 2 |(a-1)/a| |a-1|
A = 2 |(a-1)(a-1)| / |a| = 2 (a-1)² / |a|
Mit A = 10 ergibt sich
10 = 2 (a-1)² / |a|
5 |a| = (a-1)²
Fall 1: a > 0
5 a = a² - 2a + 1
0 = a² - 7a + 1
a = 7/2 +- 3/2 √5
Fall 2: a < 0
-5 a = a² - 2a + 1
0 = a² + 3a + 1
a = -3/2 +- 1/2 √5
Und Du bist sicher, dass Du die Aufgabenstellung richtig wiedergegeben hast??
Es soll wohl eher heißen: Finde diejenigen Funktionen der Schar, deren Graph mit den Koordinatenachsen einen Flächeninhalt von 10 FE einschließen.
Denn: Deine Funktionen sind lineare Funktionen, d.h. die Graphen sind Geraden. Sofern a nicht null ist, verlaufen die Geraden nicht parallel zur x-Achse. Also schließen sie zusammen mit den beiden Achsen ein Dreieck ein.
Du sollst nun a so bestimmen, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks 10 cm² (besser: Flächeneinheiten = FE) einschließt.
Mach' Dir mal eine Skizze.
Dann siehst Du schnell, dass Du den y-Achsenabschnitt und die Nullstelle der Geraden benötigst.
Das sollte erst mal als Hinweise genügen. Oder?
Dann beschreib doch mal genauer, was Du gemacht hast. Dann wird Dir geholfen :-)
ich habe alles versucht um die nukkstellen rauszubekommen verstehe aber nicht wie,weil da ja kein hoch2 ist für die pq Formel
Naja, es soll ja auch Gleichungen geben, die man "einfach so" nach x auflösen kann:
a·x + 2 - 2a = 0 <=>
a·x = 2a - 2 <=> . . .
und weiter ? ich verstehe es wirklich nicht
a·x + 2 - 2a = 0 | -2 + 2
a·x = 2a - 2 | : a
x = 2 - 2/a
Das ist die Nullstelle einer Funktion Deiner Schar.
Den y-Achsenabschnitt kannst Du direkt aus dem Funktionsterm ablesen. Die Gerade schneidet die y-Achse bei 2-2a.
Damit hast Du die beiden Katheten eines rechwinkligen Dreiecks und kannst mit diesen den Flächeninhalt des Dreiecks angeben. Dieser muss 10 sein.
Das weitere Vorgehen siehst Du bei Ellejolka.
Wenn Du diese Gleichung löst, stößt Du auf eine quadratische Gleichung. Und die darfst Du dann gerne mit pq-Formel lösen :-)
Damit erhältst Du zwei Werte für a (beide negativ).
Die beiden Dreiecke lassen sich übrigens an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten spiegeln, d.h. Nullstelle und y-Achsenabschnitt tauschen sich aus.
Die Gerade mit der Gl. y = ax - 2(a - 1) schneidet die y-Achse in Y(0 | y₀)
mit y₀ = - 2(a - 1) und die x-Achse in X(x₀ | 0) wobei x₀ sich ergibt aus
ax + 2(1 - a) = 0 → x = 2(a - 1)/a. Für a > 1 ist x₀ > 0 und y₀ < 0
und für a < 1 umgekehrt.
Für die Fläche A des Dreiecks OXY ist nur die Länge der Katheten relevant,
also A = ½ |x₀ y₀| = 2 (a - 1)²/a. Für A = 10 ist (a - 1)² = 5a → a² - 7a + 1 = 0.
Skizze und berechne die Nullstelle.
Nullst. x=2-2/a
dann A=g*h/2 also 10=(2-2/a)(2-2a)/2 und Klammer lösen und a berechnen.
Was willst du hier? EIne Funktionsschar die für alle a mit den Achsen ein Dreieck mit A=10cm^2 einschließt oder nur das a in der Schar in deiner Frage für das das gilt?
das weiss ich ja aber ich komme nicht weiter :D