Matheaufgabe mit "L-stein"?
Ich verzweifel gerade an dieser Aufgabe,die uns als HA aufgegeben wurde.Es wäre echt meega wenn mir jemand helfen würde.. Danke im Vorraus😘
5 Antworten
Die Aufgabe stammt aus der aktuell noch laufenden 59. Mathematik-Olympiade. Ab 01.11.2019 werden Lösungen laut Webseite online verfügbar sein.
https://www.mathematik-olympiaden.de/moev/index.php/aufgaben
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Für Teilaufagabe a) kann man alle Möglichkeiten durchgehen, ein graues Feld zu wählen, welches entfernt wird. Für jede der Möglichkeiten kann man dann eine entsprechende Anordnung von L-Steinen aufzeichnen. (Unter Verweis auf Symmetrie kann man das auf 3 Fälle reduzieren.)
Eine mögliche Lösung könnte so aussehen:
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Für Teilaufgabe b) kann man bemerken, dass ein L-Stück jeweils entweder 3 weiße Felder abdeckt oder 1 graues und 2 weiße Felder abdeckt. (2 oder mehr graue Felder mit einem L-Stein abzudecken ist offensichtlich nicht möglich.)
[Hinweis, falls du selbst denken möchtest, anstatt weiterzulesen: Wie viele Steine des jeweiligen Typs (3weiß bzw. 1grau/2weiß) werden nun benötigt.]
Es müsste 9 der L-Stücke geben, welche 1 graues und 2 weiße Felder abdecken, da insgesamt 9 graue Felder abgedeckt werden müssen.
Da jedes L-Stück 3-Felder abdeckt, würden dann 9 L-Stücke bereits 9 ⋅ 3 = 27 Felder abdecken. Es stehen jedoch nur 24 Felder zur Verfügung die abgedeckt werden sollen.
Aufgrund dieses Widerspruchs ist es nicht möglich nach Streichen eines weißen Feldes die restlichen 24 Felder überlappungsfrei mit L-Steinen auszulegen.
Das nenne ich eine Antwort, wie ich sie mir von einem Community-Experten wünschen würde. Top! Danke!
Du kannst einen der grauen Steine außen, in der Mitte einer Seiten wegstreichen.
Aufgabe a) kann man durch ausprobieren zeigen. Es gibt nur 3 verschieden Fälle, alle anderen lassen sich durch Drehen oder Spiegeln auf einen der 3 Fälle zurückführen.
DIe drei Fälle sind:
1. es fehlt eine graue Ecke.
2. es fehlt eine graue Kante
3. es fehlt das graue Mittelstück.
Aufgabe b)
Ein L-Stück kann entweder 3 weiße Felder abdecken, oder 2 weiße und ein graues (probier es aus).
Wenn ein weißes Feld entfernt wird, verbeleiben 9 graue und 15 weiße.
Um 9 graue Felder abzudecken, benötigt man also mindestens 9 L-Steine. (Man hat aber nur 8)
Mit diesen 9 Steinen würden nur aber auch 18 weiße Felder abgedeckt werden - es gibt aber nur 15.
a) Es geht ja darum zu zeigen, dass wenn man ein dunkles Feld wegnimmt, dass die restliche Figur (bestehend aus 24 Quadraten) mit den L-Steinen gelegt werden kann.
Dies geht recht einfach dadurch, dass man die verschiedenen Varianten aufzeigt. (Tipp: Man muss nur 3 Varianten zeigen: eine für einen Eckstein, eine für den in der Mitte und eine für die an der Seite)
b) das ist ein wenig schwieriger. Ich habe keine Möglichkeit gefunden die restliche Fläche zu legen, wenn man ein weissen Feld weglässt. Dies ist aber noch kein Beweis, dass es nicht möglich ist.
Vielen Dank für die Antwort du hast mit echt geholfen😊
Man kann die restlichen Varianten mit Symmetrie benutzen. Wenn man drei bestimmte Fälle gezeigt hat [1 graues Eckfeld gestrichen; 1 graues Seitenfeld gestrichen; das graue Feld in der Mitte gestrichen] kann man entsprechende Anordnungen für die restlichen (Eckfeld gestrichen)- bzw. (Seitenfeld gestrichen)-Möglichkeiten finden, indem man die bereits gefundenen Anordnungen dreht.
Daher reichen die drei bestimmten Fälle und ein Verweis auf Symmetrie.
Vielleicht hilft Dir das...
Das Mittelfeld des L-Steins darf überlappen, weil es entfernt wird. (Zumindest habe ich das so verstanden)
Ziemlicher Quatsch:
es sollen alle 24 verbeleibenden Felder (nicht nur die weißen) mit den 8 L-Steinen bedeckt werden.
Und überlappen darf da nichts.
@336spencer aber das sind doch nur 6 steine oder hab ich was übersehn😅
Ich muss Dich um Verzeihung bitten. Ich habe die Aufgabe falsch verstanden.
Wieso kommst du darauf, dass man bei Aufgabe a) 3 Varianten aufzeigen MUSS?