Matheaufgabe Katheten- und Hypotenusenabschnittlänge?
Hallo!
Ich brauche etwas Hilfe bei der Folgenden Aufgabe. Ich habe die Lösung schon, aber durch einen ziemlich komplizierten Weg (h² = p × q, Satz Von Vieta etc) Herausgefunden. Gibt es da nicht einfachere Wege?
Aufgabe: Berechne (nicht zeichne!) Die Länge der Katheten und Hypotenusenabschnitte. Die Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks ist 10cm lang. Die Höhe h (von C) ist 3cm lang.
Danke Im Voraus!
Liebe Grüße
2 Antworten
Ich sehe da keinen einfacheren Weg. Vermutlich hast du mit dem Höhensatz diesen Ansatz gemacht:
p + q = 10, h² = p*q
und daraus die Gleichung.
q² - 10*q + 9 = 0
Diese Gleichung mit dem Satz von Vieta zu lösen, ist ziemlich clever; wer darauf nicht kommt, muss den längeren Weg über die Lösungsformel für die quadratische Gleichung gehen.
Hallo
Es gibt wohl noch den Weg über den Satz des Thales, nach dem jedes Dreieck innerhalb eines Halbkreises ein rechtwinkliges Dreieck ist, sofern die Hypotenuse der Durchmesser des Halbkreises ist und der Punkt C auf dem Halbkreis liegt. A und B sind die Eckpunkte des Kreisdurchmessers.
Es ergibt sich dann:
b² = 9² + 9 = 90
sowie
a² = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
Diese Lösung ist identisch mit der Lösung über die quadratische Gleichung von BorisG2011.
Am besten du zeichnest eine 10 cm lange Strecke und mit dem Zirkel einen Halbkreis mit r = 5 cm darüber. Der Mittelpunkt der Strecke ist der Ursprung eines x-y-Koordinatensystems. Jetzt zeichnest du ein Kreuz oben rechts auf dem Halbkreis ein. Zeichnest du jetzt die Strecken vom Punkt A (= linkes Ende der gezeichneten 10 cm- Strecke) zum Kreuz (= Punkt C) und von C zum Punkt B (= rechtes Ende der 10 cm-Strecke), so hast du ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck gezeichnet. Der Punkt C hat im Koordinatensystem eine x- und eine y-Komponente.
Hier ist wieder ein rechtwinkliges Dreieck (aus Abszisse und Ordinate des Punktes C) zu sehen, und es gilt:
x² + y² = r²
Das ist übrigens auch die Kreisgleichung.
Mit y = 3 cm und r = 5 cm (Hälfte des Kreisdurchmessers) kannst du das x ausrechnen:
x² = r² - y² = 25 - 9 = 16
Somit ist x = 4.
Jetzt kannst du die beiden rechtwinkligen Dreiecke im konstruierten Beispiel-Dreieck betrachten:
a² = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
a = Wurzel(10) = 3,16
Das ist eine Kathete des gesuchten Dreiecks!
b² = 9² + 3² = 81 + 9 = 90
b = Wurzel(90) = 9,49
Das ist die andere Kathete des gesuchten Dreiecks!
Probe auf's Exempel:
a² + b² = c² ?
10 + 90 = 100
Stimmt!