Mathe: wie finde ich bei der Gruppe (Z_30, +) die Erzeuger?
Gegeben ist die Gruppe (Z_30,mal). Wie finde ich die Erzeuger der zyklischen Gruppe (Z_30,+)? Und warum ist diese Gruppe überhaupt zyklisch?
Vielen Dank!
3 Antworten
Hallo XUserZ,
es gibt einen sehr einfachen mathematischen Zusammenhang zwischen den Einheiten von (Z_m,·) und den Erzeugern von (Z_m,+):
Die Einheiten von (Z_m,·) sind die Erzeuger von (Z_m,+).
Nun sind lediglich die Einheiten von 30 (d.h. die zu 30 teilerfremden ganzen Zahlen k_i mit ggT(k_i,30)=1) zu bestimmen. Daraus folgt. Die Erzeuger sind gegeben durch die Menge {1,7,11,13,17,19,23,29}. Es gibt demzufolge 8 (φ(30)) Erzeuger. Weil es mindestens einen Erzeuger gibt, ist die Gruppe auch zyklisch, was direkt aus der Definition für zyklische Gruppen folgt.
Ich hoffe, dass ich Dir weiterhelfen konnte!
Viele Grüße
André, savest8
Meinst du die Restklassengruppe modulo 31?
In Restklassenringen kann man jedes Element durch die 1 erzeugen. Diese Ringe sind folglich einfach-erzeugt, oder anders gesagt, zyklisch.
Da 31 Primzal ist, ist Z_31 auch Körper. Was unterscheidet einen Körper vom allgemeinen Ring?
Sorry, ich hatte die falsche Frage gestellt. Gemeint ist das Modul 30.
Wie ist denn die Gruppe (Z_31^*, +)definiert?
Sorry, ich hatte die falsche Frage gestellt. Gemeint ist das Modul 30