Mathe Extremwert Aufgabe?
Eine nätürliche Zahl n soll so in 2 Summanden a und b zerlegt werden, dass die Summe der Quadrate maximal wird. Wie sind die Summanden in Abhängigkeit von n zu wählen?
Ich habe diese Frage gestellt bekommen. Ich überlege jetzt schon eine Stunde, ich komme einfach nicht drauf, wie man das macht. Kann mir bitte wer helfen und sagen wie der Weg zur Lösung geht, bitte
2 Antworten
Voraussetzung: a, b, n ϵ N ; N = {1 ; 2 ; 3 ; ... }
Extremalbedingung: S = a² + b² → Max
Nebenbedingung: a + b = n ⇔ b = n - a
S(a) = a² + (n - a)² = 2 * a² + n² - 2 * a * n
S(a) = 2 * (a - (n / 2))² + (n² / 2)
Es handelt sich um eine Parabel mit dem Scheitelpunkt SP (n / 2│n² /2).
Der Scheitelpunkt ist der Tiefpunkt. Da es sich um eine Parabel handelt, liegt das Maximum am Rand.
Unter der o.g. Voraussetzung gilt daher:
a = n - 1
b = 1
Die Fragestellung ist interpretierbar.
Die Summe der Quadrate der ZerlegeElemente a,b ?
ODER auch noch n ?
UND: MUSS a,b auch Element N sein ?
Angenommen n=4
Dann kann man es z.b. in 1 und 3 zerlegen.
1^2 = 1
3^2 = 9
1+9 = 10
Zerlegt man in 2,2 dann wäre die Summe 8 also weniger.
Dürfte man in 0,4 zerlegen, dann hätte man 16.
Ja könnte so sein mit dem Zerlegen nur ich brauch das in allgemein als Formel. Ich meine das ist eine Extremwertaufgabe und die lösen wir immer mit Haupt- und Nebenbedingung. Eine Bedingung müsste dann glaube n= a² + b² sein, aber was die andere Bedingung ist weiß ich nicht.