Mathe Eigenspace Erklärung?
Hallo allerseits!
Ich bin etwas verwirrt zu dem Lösungsvorschlag der unten gegeben ist. Ich soll den "eigenspace" berechnen, das ist der eigenvector oder?
Ich habe gelb markiert was mich verwirrt.Wie komm ich darauf, dass (A+I)x=0 sein muss?
Ich denke ich habe wohl das ganze Prinzip von Eigenvektoren, eigenvalues etc. noch nicht ganz kapiert.
Ich bin dankbar über jede Hilfe und Erklärungsversuch!!!
Alles Liebe
A
3 Antworten
Hallo Annatherese,
ein Eigenvektor v der Matrix A ist ein Vektor, der von der Matrix nicht verdreht sondern nur skaliert wird (und zwar um den Streckfaktor lambda, dem zugehörigen Eigenwert), also:
A*v = lambda*v
Bringst du alles auf die linke Seite, steht da
A*v - lambda*v = 0
Nun kann ich lambda*v auch als lambda*1*v schreiben, wobei 1 die Einheitsmatrix ist, somit erhalten wir
A*v - lambda*1*v = 0
oder durch Ausklammern von v
(A-lambda*1)*v = 0
In deiner Aufgabe wurde der Eigenwert zu lambda=-1 bestimmt, das gibt dann
(A+1)*v = 0
Ein Vektor v (ungleich 0) ist ein Eigenvektor einer quadratischen Matrix A genau dann wenn gilt:
A*v = k*v
mit k aus C\{0}. Der Faktor k wird dabei als Eigenwert bezeichnet. Die Eigenwerte einer Matrix lassen sich wie folgt bestimmen:
Aus der Definitionsgleichung für den Eigenvektor gilt:
A*v = k*v
Umstellen liefert:
k*v - A*v = 0
Sei E die Identitätsmatrix, so gilt:
E*v = v
Einsetzen und Ausklammern von v liefert dann:
(k*E - A)*v = 0
damit diese Gleichung für ein v ungleich 0 erfüllt ist muss die Matrix k*E - A nicht invertierbar sein (weil wenn sie invertierbar wäre, so wäre die Lösung eindeutig v = 0, wobei dies per Definition kein Eigenvektor ist). Eine quadratische Matrix ist genau dann nicht invertierbar, wenn die Determinante von dieser verschwindet (siehe Cramersche Regel). Es muss also gelten:
det(k*E - A) = 0 = a*(k - k1)*(k - k2)*...*(k - kn)
die Determinante ergibt hierbei stets ein Polynom (als charakteristisches Polynom bezeichnet) in k mit den Nullstellen ki, welche den Eigenwerten der Matrix A entsprechen. Die Häufigkeit mit der die Nullstelle ki auftritt bezeichnet man als algebraische Vielfachheit (bspw.: det(k*E - A) = (k - 1)^2 = 0 ---> Eigenwert 1 mit algebraischer Vielfachheit 2). Sind die Eigenwerte von A bestimmt worden, so sind noch die Eigenvektoren zu den jeweiligen Eigenwerten zu bestimmen. Auch hier erinnere man sich wieder an die Definitionsgleichung:
(k*E - A)*v = 0
die Gleichung gilt es für die einzelnen ki´s, den Eigenwerten, zu lösen. Die Eigenvektoren entsprechen in dem Fall dann den Vektoren, welche den Kern (Nullraum) der obigen Matrix aufspannen. Es sei gesagt, dass die Wahl der Eigenvektoren nicht eindeutig ist. Ist vi ein Eigenvektor zum Eigenwert ki, so ist auch a*vi ein Eigenvektor zum gleichen Eigenwert , wobei a eine konstanter Skalar ungleich 0 ist (einfach mal einsetzen in die Definitonsgleichung ... ). Die Anzahl der Eigenvektoren linear unabhängigen Eigenvektoren zu einem Eigenwert ki bezeichnet man als geometrische Vielfachheit. Es gilt hierbei stets:
alg. Vfh. >= geom.Vfh.
Man bezeichnet die Matrix A als Diagonalisierbar genau dann wenn " = " gilt. Der Eigenraum (Eigenspace) zum Eigenwert ki ist dann gerade der von den oben erwähnten linear unabhängigen Eigenvektoren aufgespannte Vektorraum, dessen Dimension gerade der geometrischen Vielfachheit entspricht. Ordnet man nun die Eigenwerte in einer Diagonalmatrix an
D = diag(k1, ... , kn)
und die Eigenvektoren vi zu den Eigenwerten ki in einer entsprechen Form in einer Matrix V
V = (v1 | ... | vn)
wobei die Reihenfolge die selbe sein muss wie in D. Es folgt dann:
A*V = V*D
Dies kann entsprechend umgeformt werden zu:
(i) A = V * D * V^-1
(ii) D = V^-1 * A * V
Man kann diese Zerlegung verwenden um bspw. Matrixpotenzen einfacher zu berechnen, so gilt:
A^n = (V * D * V^-1)^n = (V * D * V^-1)*(V * D * V^-1)*...*(V * D * V^-1)*(V * D * V^-1)
= V * D * (V^-1*V) * D * (V^-1 * ... *V) * D * (V^-1 * V) * D * V^-1
= V * D^n * V^-1
Sie ist ebenso nützlich zur Lösung von DGL-Systemen bzw. zur Beschreibung von technischen Systemen.
Abschließend noch ein Beispiel:
A = {{1, 1}, {0, 1}}
siehe hier:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=A+%3D+%7B%7B1,+1%7D,+%7B0,+1%7D%7D
Das charakteristische Polynom lautet:
det(k*E - A) = (k - 1)^2
Die Nullstellen von diesem sind die Eigenwerte, hier:
k1 = 1
k2 = 1
Es gibt also nur einen Eigenwert k = 1 mit algebraischer Vielfachheit 2. Es gilt nun die Eigenvektoren zu bestimmen:
k*E - A = E - A = {{0, -1}, {0, 0}}
siehe hier:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B0,+-1%7D,+%7B0,+0%7D%7D
Die Matrix hat einen Rang von 1 und damit hat der Kern eine Dimension von 1 und somit können keine zwei linear unabhängigen Vektoren existieren die diesen Raum aufspannen (da er sonst Dimension 2 haben müsste). Die Matrix A ist also schon mal nicht diagonalisierbar. Wir können jedoch noch den benötigten Eigenraum bestimmen. Betrachte das LGS:
(E - A)*v = 0
mit v = (v1, v2)^T folgt dann:
(i) 0*v1 - v2 = 0 ---> v2 = 0
(ii) 0*v1 + 0*v2 = 0
Man erkennt sofort, dass v1 beliebig gewählt werden kann und v2 = 0 sein muss. Alle Lösungen für v sehen also wie folgt aus:
v = (0, 0)^T + t * (1, 0)^T
mit t aus IR. Somit wird der Kern der Matrix (E - A), welcher dem Eigenraum (Eigenspace) des Eigenwertes k = 1 entspricht, aufgespannt durch:
ker(E - A) = EigenRaum(A, k = 1) = span{ (1, 0)^T }
Da dieser Raum nur eine Dimension von 1 hat (--> geometrische Vielfachheit des Eigenwertes k = 1 ist gleich 1), jedoch die algebraische Vielfachheit 2 ist, ist die Matrix A nicht diagonalisierbar. Als Erweiterung des Konzeptes der Diagonaliserung gibt es die Jordan-Zerlegung, siehe hierzu:
https://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform
Ich hoffe die Erklärung war verständlich ... .
Wir sind hier in Deutschland und da wird Deutsch gesprochen.
Diese Spezialwörter verstehe ich nicht und das nervt.
Ausserdem sind diese leichten Aufgaben durch diese komplizierten Beschreibungen nur unnötig schwer gemacht worden,wie bei der Aufgabe
f(x)=ln(x) Integrationsgrenzen xu=0 bis xo=e,weil da eine Nullstelle bei x=1 ist
Tipp:Besorge dir privat ein Lehr- und Übungsbuch aus einem Buchladen,was sich zum Selbststudium eignet.
Da müssen dann durchgerechnete Beispielaufgaben drin stehen.
Hier Spezialbuch für Matrizen,Determinanten,Vektoren
Die Schwierigkeit bei dieser Aufgabe liegt darin,dass man zuerst mal ermitteln muss,was die ganzen Zeichen denn zu bedeuten haben.
Dafür müssen in deinen Unterlagen dann Erklärungen vorhanden sein.