Mathe?
Aufgabe: Kann mir jemand bitte helfen, dieses Gleichungssystem zu lösen?
125a+ 25b + 5c+ d = -26
75a + 10b + c = 0
27a+ 9b + 3c + d = -10
18a + 2b = 0
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/PokeLofor/1666384429448_nmmslarge__0_0_280_280_4e12b6846fde6cf6e550697a6a5aebb9.png?v=1666384430000)
Immer wenn du so ein lineares Gleichungssystem hast, brauchst du den Gausalgorithmus:
Das heißt, du willst dein Gleichungssystem immer in diese "Stufenzeilenform" bringen:
I I I I
I I I
I I
I
Das heißt du versuchst bei der 1. und 3, Zeilen bei einer von beiden eine Variable zu streichen, sodass nur noch eine Gleichung mit 4 Variabken hast und zwei mit 3 Variablen und nur eine mit 2 Variablen. Anschließend wiederholst du dieses Verfahren, bis du das Muster oben hast.
Spoiler volle Rechnung:
I 125a+ 25b + 5c+ d = -26
II 75a + 10b + c = 0
III 27a+ 9b + 3c + d = -10
IV 18a + 2b = 0
Neu Ia= I - III: 98a+16b+2c =-16
Anschließend:
IIa: 2 mal II - Ia: 150a-98a+20b-16b+2c-2c = 0-16
IIa: 52a+4b =-16
IVa: IIa-2 mal IV= 52a-36a+4b-4b= -16-0
IVa: 16a = -16
a=-1
Nun können wir a in eine Gleichung mit nur zwei Variablen einsetzen:
IIa: 52 mal (-1) + 4b = -16
4b = 36
b = 9
Nun können wir a und b in eine Gleichung mit nur drei Variablen einsetzen:
II: 75 mal (-1) + 10 mal 9 + c = 0
-75 + 90 + c = 0
15 + c= 0
c = -15
Nun können wir a und b und c in eine Gleichung mit nur vier Variaben einsetzen:
IV: 27 mal (-1)+ 9 mal 9 + 3 mal (-15) + d = -10
-27 + 81 - 45 +d =-10
81 - 72 + d = -10
9 + d = -10
d = -19
Und da hast du deine Lösung:
a= -1, b= 9, c = -15 und d=-19
![](https://images.gutefrage.net/media/user/SebRmR/1457816261139_nmmslarge__111_45_422_422_368b86c22625b2a072cba35711cdbec6.jpg?v=1457816263000)
Eine Probe hast du nicht gemacht, oder?
125a + 25b + 5c + d = -26
125*(-1) + 25*9 + 5*(-15) + (-19) = -26
-125 + 225 - 75 - 19 = -26
6 ≠ -26
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Um das Gleichungssystem zu lösen, können wir die Gleichungen nacheinander verwenden, um die Variablen zu eliminieren und schließlich die Werte der Variablen zu finden. Wir beginnen mit der vierten Gleichung:
18a + 2b = 0
Wir können b in Abhängigkeit von a ausdrücken, indem wir beide Seiten der Gleichung durch 2 teilen:
b = -9a
Jetzt ersetzen wir b in der zweiten Gleichung:
75a + 10b + c = 0
75a + 10(-9a) + c = 0
-15a + c = 0
c = 15a
Wir haben also zwei Variablen eliminiert und wissen nun, dass c = 15a und b = -9a. Wir können diese Werte in die anderen beiden Gleichungen einsetzen:
125a + 25b + 5c + d = -26
125a + 25(-9a) + 5(15a) + d = -26
70a + d = -26
27a + 9b + 3c + d = -10
27a + 9(-9a) + 3(15a) + d = -10
9a + d = -10
Jetzt haben wir ein Gleichungssystem mit nur zwei Variablen (a und d):
70a + d = -26
9a + d = -10
Wir können das zweite Gleichungssystem nach d auflösen:
d = -9a - 10
Jetzt können wir d in der ersten Gleichung ersetzen:
70a + (-9a - 10) = -26
61a = 16
a = 16/61
Jetzt können wir a in der Gleichung für d einsetzen:
d = -9(16/61) - 10
d = -286/61
Damit haben wir die Lösungen für alle Variablen gefunden:
a = 16/61
b = -9a = -144/61
c = 15a = 240/61
d = -286/61
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/12_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Dankeschön
aber noch eine Frage:
wie bist du auf b=-9a gekommen?
wenn wir beide Seiten durch 2 teilen , kommt durch 9 raus und keine -9
woher kommt das minus Zeichen ?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/PokeLofor/1666384429448_nmmslarge__0_0_280_280_4e12b6846fde6cf6e550697a6a5aebb9.png?v=1666384430000)
Also ich sage es nur ungern, aber die Antwort ist falsch. Da kommen für a bis d ganze Zahlen raus. Auch würde ich bei einem solchen LGS vom Einsetzungsverfahren zu Beginn abraten, da enstehen sehr schnell Fehler wie bei dir. Siehe meine Antwort für das klassische Vorgehen
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Welche Verständnisschwierigkeiten hast du da genau? Bei einem System mit vier Unbekannten bietet sich das Additionsverfahren doch an.
HIer
https://studyflix.de/mathematik/additionsverfahren-2319
findest du ein Beispiel wie das Verfahren auf ein System mit drei Unbekannten angewendet wird. Bei vier Unbekannten dauert es halt ein wenig länger.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/12_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Rubezahl2000/1444749506_nmmslarge.jpg?v=1444749506000)
Die 3. Gleichung von der 1. Gleichung abziehen, dann hast du nur noch ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten.
Und dann immer weiter die Lösungverfahren anwenden.
Wäre jetzt hier für uns viel zu viel Tipp-Arbeit, um das für dich zu lösen.
Versuch's mal selbst!
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/12_nmmslarge.png?v=1551279448000)