Mathe , Sigmaregeln stochastikkk?
Hey Leute , wir haben ein neues Thema in Mathe und ich komme nicht voran ... könnt ihr mir erklären wie ich vorgehen muss?
aufgabe 33 und 34
1 Antwort
Hallo,
für diese Aufgabe benötigst Du eine Tabelle der Gaußschen Summenfunktion, denn eine Binomialverteilung wie die vorliegende kannst Du durch eine Standardnormalverteilung annähern.
Diese stellt eine Kurve dar, die glockenförmig ist und die den Spitzenwert beim Erwartungswert hat.
Was ist hier der Erwartungswert? Natürlich 200*1/10=20, denn eine Null fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 %; damit kann man erwarten daß 10 % oder 20 der 200 Zahlen Nullen sind.
Natürlich hält sich der Zufall nicht sklavisch an den berechneten Erwartungswert.
Es kann ein paar Nullen mehr oder weniger als 20 geben - und das ist auch in Ordnung.
Allerdings wird man feststellen, wenn man ganz viele 200er-Serien durchlaufen läßt, daß in fast allen Serien um die 20 Nullen auftauchen und daß in einem bestimmten Intervall unterhalb bis oberhalb des Erwartungswertes Ein hoher Prozentsatz aller Ergebnisse liegt.
Diese Abweichung vom Erwartungswert ist bei der Standardnormalverteilung in Standardabweichungen angegeben, die sich bei einer Binomialverteilung so berechnen:
Wurzel aus (Erwartungswert mal Gegenwahrscheinlichkeit).
Erwartungswert ist hier 20, die Gegenwahrscheinlichkeit ist 1-1/10=9/10
20*9/10=18 und die Wurzel aus 18 ist 3*Wurzel (2), also etwa 4,24.
Eine Standardabweichung ist hier also 4,24 Nullen.
In der Tabelle findest Du unter x=1 den Wert 0,8413, was bedeutet, daß Du in 84,13 % aller Serien zwischen keiner und 24,24 Nullen zählen wirst.
Da die Funktion achsensymmetrisch zum Erwartungswert ist, liegen
2*84,13 % -100 % in einer Umgebung von 20-4,24 Nullen und 20+4,24 Nullen, also
68,26 % oder rund 68,3 %.
Innerhalb vom Erwartungswert ±2 Standardabweichungen liegen 95,4 % und innerhalb des Intervalls Erwartungswert ±3 Standardeinheiten 99,7 %.
Da hast Du auch schon Deine Antwort:
Zu 99,7 % kannst Du erwarten, daß sich unter den 200 Zahlen
20±3*4,24, also zwischen 7,28 und 32,72 Nullen, was Du natürlich auf ganze Zahlen runden mußt. Die Kurve der Normalverteilung paßt sich ohnehin besser an die Stufenform der Binomialverteilung an, wenn man die Grenzen nach außen um 0,5 erweitert.
Du kannst also in etwa 99,7 % aller Fälle annehmen, daß sich unter 200 zufällig ausgewählten Ziffern zwischen 7 und 33 Nullen finden.
Die entsprechende Tabelle findest Du unter der Bezeichnung Gaußsche Summenfunktion als Anhang in den entsprechenden Mathebüchern.
Herzliche Grüße,
Willy
Das sollte Dir eigentlich klar sein, daß es in meiner Antwort um Aufgabe 33 ging.
Versuch erst einmal, diese zu verstehen, dann sieh Dir Aufgabe 34 noch einmal an.
Wie lautet die Standardabweichung, wenn n zum Beispiel nicht 200, sondern 1000 ist?
Welche Abweichung vom Erwartungswert könnte man noch akzeptieren, wenn man davon ausgeht, daß das Programm wirklich den Zufall simuliert und nicht fehlerhaft ist, indem zum Beispiel mehr oder weniger Nullen erzeugt werden, als es bei einem tatsächlichen zufälligen Ergebnis der Fall wäre?
1 % Irrtumswahrscheinlichkeit bedeutete ein Sicherheitsintervall von 99 %.
Du würdest also alles an tatsächlich erzeugten Nullen akzeptieren, was sich zu 99 % um den Erwartungswert herum umter der Kurve sammelt.
Wieviel Standardabweichungen das sind, findest Du in der Tabelle, wenn Du den 0,9950 suchst und den entsprechenden x-Wert dazu am Rand.
0,995 und nicht 0,990, weil Du links und rechts einen Rand von jeweils 0,5 % läßt.
Beide Ränder ergänzen sich dann zu dem einen Prozent, das noch zu 100 % fehlt.
Achso danke, kannst du mir nochmal erklären wie du auf 1/10 als Wahrscheinlichkeit gekommen bist , dass habe ich nicht so verstanden
Danke dirrr welche Aufgabe. Ist jetzt welche ?