Lipschitz Stetigkeit?

Wie kommt man auf $\frac{\sqrt{n}}{2}\$

Answer 1

[mihisu]

Wegen x, y ∈ [0, 1], also insbesondere x ≥ 0 und y ≥ 0, erhält man...

$\sqrt{x+\frac{1}{n}}+\sqrt{y+\frac{1}{n}}$

$\geq \sqrt{0+\frac{1}{n}}+\sqrt{0+\frac{1}{n}}$

$=\sqrt{\frac{1}{n}}+\sqrt{\frac{1}{n}}$

$=2\cdot \sqrt{\frac{1}{n}}$

$=2\cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{n}}$

$=2\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}$

$=\frac{2}{\sqrt{n}}$

Dementsprechend ist...

$\frac{\left\lvert x- y\right\rvert}{\sqrt{x+\frac{1}{n}}+\sqrt{y+\frac{1}{n}}}\leq \frac{\left\lvert x- y\right\rvert}{\quad\frac{2}{\sqrt{n}}\quad}$

Division durch 2/√(n) ist äquivalent zur Multiplikation mit dem Kehrwert √(n)/2.

$\frac{\left\lvert x- y\right\rvert}{\sqrt{x+\frac{1}{n}}+\sqrt{y+\frac{1}{n}}}\leq \frac{\left\lvert x- y\right\rvert}{\quad\frac{2}{\sqrt{n}}\quad}=\frac{\sqrt{n}}{2}\cdot \left\lvert x-y\right\rvert$

Answer 2

[J0T4T4]

Das ist einfach eine Abschätzung.

x, y sind im Bruch, d.h. der gesamte Ausruck wird maximal, wenn x, y minimal (also 0) werden.

Dann bleibt noch etwas den Bruch umformen und man kommt auf den Ausdruck.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – π = e = 3