Lineares Gleichungssystem lösen?
Hallo,
ich habe das folgende Gleichungssystem (siehe Bild) und brauche Hilfe, wie man es löst. Laut Taschenrechner gibt es definitiv eine Lösung, aber ich komme auf keine. Ich wäre über eine Erklärung des Rechenweges sehr dankbar.
3 Antworten
Diese LGS aus Steckbriefaufgaben lassen sich meist gut von hinten nach vorn abarbeiten.
I: a + b + c + d = 0
II: 8a + 4b + 2c + d = 14
III: 12a + 4b + c = 15
IV: 12a + 2b = 0
d eliminieren:
I a + b + c + d = 0
II-I=IIa 7a + 3b + c = 14
IIIa 12a + 4b + c = 15
IVa 12a + 2b = 0
c eliminieren.
I a + b + c + d = 0
IIa 7a + 3b + c = 14
IIIa-IIa=IIIb: 5a + b = 1
IVa/2=IVb: 6a + b = 0
b eliminieren
I a + b + c + d = 0
IIa 7a + 3b + c = 14
IIIb: 5a + b = 1
IVb-IIIb: a = -1
Jetzt rückwärts einsetzen
a in IIIb: -5 + b = 1 => b=6
a,b in IIa: -7 + 18 + c = 14 => c=3
a,b,c in I: -1 +6 +3 + d = 0 => d=-8
fertig.
Der Online-Löser macht es anders, kommt aber zum gleichen Ergebnis
(1) a + b +c + d = 0
(2) 8a + 4b + 2c + d = 14
(3) 12a + 4b + c = 15
(4) 12a + 2b = 0
Los geht's:
(4) nach b auflösen:
(5) b = -6a
(5) in (3) einsetzen:
12a - 24a + c = 15
Nach c auflösen:
(6) c = 12a + 15
(6) und (5) in (2) einsetzen:
8a - 24a + 2(12a + 15) + d = 0
8a - 24a + 24a + 30 + d = 0
Nach d auflösen:
(7) d = - 8a - 30
(7), (6) und (5) in (1) einsetzen:
a - 6a + 12a + 15 - 8a - 30 = 0
Nach a auflösen:
(8) a = -15
(8) in (7) einsetzen:
(9) d = 90
(8) in (6) einsetzen:
(10) c = -165
(8) in (5) einsetzen:
(11) b = 90
Kontrolle: (8), (9), (10), (11) in (1) einsetzen:
-15 + 90 - 165 + 90 = 0
Ich würde ja das Gauss-Eliminationsverfahren anwenden.
Aber ansonsten könnte man es mit anderen Verfahren versuchen.
Ich würde die Gleichungen erst einmal nacheinander voneinander abziehen und so erst einmal einzelne Variablen bestimmen.
Beispielsweise wenn du (ii) - (i) machst erhälst du:
14 = 7a + 3b + c;
Und d ist weggefallen.
Wenn du dann noch (iii) abziehst:
-1 = -5a - 1b;
Ist auch noch c weggefallen. Dann solltest du das zusammen mit (iv) nach a und b lösen können und dann kannst du die weiteren Gleichungen vereinfachen.