Kronecker-Delta?

Wenn

$<e_i,\ e_j>\ =\left(-1\right)^i\delta_{ij}$ Was bedeutet dann

$<v,\ w>$ ? Ich meine wie soll man einem beliebigen Vektor aus V überhaupt einen Index zuweisen können?

Answer 1

[ultrarunner]

Ich bin mir zwar nicht sicher, ob das deine Frage beantwortet, aber hier steht einiges über das Kronecker-Delta und die Zusammenhänge, in denen es benutzt wird (Indexnotation, Einstein'sche Summenkonvention):

https://de.universaldenker.org/lektionen/202

Erinnerungen an mein vor über 25 Jahren abgebrochenes Physikstudium werden wach …

Answer 2

[Quotenbanane]

Hast du mehr Details? Es wäre denkbar, dass man sich <v,w> über Linearkombination von Einheitsvektoren berechnet.

Ich selbst habe die obige Definition aber noch nie gesehen, also will ich jetzt erstmal nichts falsches sagen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Comments

[dklf234]

Sei <·, · >: V × V → R jene bilineare Abbildung, für die <ei , ej> = (−1)^i * δij gilt. Zeigen Sie: <L(t)*v, L(t)*w> = <v, w> für alle v, w ∈ V und für alle t ∈ R.

Wobei L(t) := e^(tσ)

σ ist eine lineare Funktion und

σe0 = e1 und σe1 = e0.

[Quotenbanane]

@dklf234

Ja okay, wenn es eine Bilinearform ist, dann kannst du v, w als Linearkombination darstellen und derart auseinanderziehen, dass nur noch <e_j,e_i>-Ausdrücke dastehen.

Answer 3

[mihisu]

Ich nehme mal an, dass es um einen n-dimensionalen Vektorraum geht und {e₁, ..., eₙ} eine Basis des Vektorraums ist.

Des Weiteren gehe ich davon aus, dass es sich bei <..., ...> um eine Bilinearform handeln soll.

============

Da {e₁, ..., eₙ} eine Basis des Vektorraums ist, gibt es zu jedem Vektor v eindeutige Koeffizienten λ₁, ..., λₙ, sodass v = λ₁e₁ + ... + λₙeₙ ist.

Zu den Vektoren v und w findet man demnach eindeutige Koeffizienten λ₁, ..., λₙ, μ₁, ..., μₙ, sodass gilt:

$v=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i e_i$ $w=\sum\limits_{j=1}^{n}\mu_j e_j$

Nun kann man die Bilinearität nutzen, um die Bilinearform auseinanderzuziehen...

$\left\langle v, w\right\rangle$ $=\left\langle\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i e_i, \sum\limits_{j=1}^{n}\mu_j e_j\right\rangle$ $\text{[Nutze die Linearität im 1. Argument.]}$ $=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i \left\langle e_i, \sum\limits_{j=1}^{n}\mu_j e_j\right\rangle$ $\text{[Nutze die Linearität im 2. Argument.]}$ $=\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i \sum\limits_{j=1}^{n}\mu_j \left\langle e_i, e_j\right\rangle$ $\text{[Nutze die Distributivität bei der inneren Summe.]}$ $=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_{i}\mu_j\left\langle e_i, e_j\right\rangle$ $=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\lambda_{i}\mu_j\left(-1\right)^{i}\delta_{ij}$

Comments

[dklf234]

Danke ich wäre wohl drauf gekommen wenn es nur eine lineare Funktion gewesen wäre aber billinearität hat mich wohl etwas verwirrt