kongruent modulo n, bin verwirrt?
Hallo zusammen,
kann mir bitte jemand erklären, was auf dem Bild geschrieben ist?
Ich verstehe leider nicht wie man auf [a]≡ = a + n Z . am Ende kommt.
Ich versuche mein Gedankengang zu erklären und und zeigen wo meine "mentale Blockade" liegt. Dafür fange ich von vorne an: a kongruent zu b heißt ja, dass n teilt a-b. z.b Wenn n=3 ist, dann müsste z.B a=5 und b=2 sein oder a=6 und b=3 usw.. . In der Gleichung auf dem Bild steht also:
⇔ a − b = n c für ein c ∈ Z
und genau ab hier verstehe ich nicht wie man auf
⇔ b ∈ {a + n c | c ∈ Z} = a + n Z .
kommt bzw. wie und was hat man hier umgestellt?
Z.B wir wählen n= 3, a=5, b=2. Also laut der Gleichung erhalten wir
2 ∈ 5 + 3 * Z. Und wenn wir jetzt für Z zufällig konkrete Zahlen einsetzen, erhalten wir:
2 ∈ 5+3*1= 8, 2 ∈ 5+3*2= 12, 2 ∈ 5+3*3= 14 .....
So, wie kann also 2 ∈ 8, 2 ∈ 12, 2 ∈ 14 sein? Irgendwie begreife ich das nicht so ganz. Wenn wir z.B natürlich zahlen N als Menge betrachten dann ist z.B die Zahle 1 ein Element von N, weil N={ {1}, {2}, {3}, ... }. Aber wie kann 2 ein Element von 8 sein oder wie kann 2 ein Element von 12 sein? Denn die Zahl 8 kann man höchstens als Operation von Mengen beschreiben z.B 8 = { {2} + {6} } oder nicht? Ich hoffe ihr könnt verstehen was ich meine, kann mir das bitte Jemand erklären?
1 Antwort
2 ∈ 5 + 3 * Z. Und wenn wir jetzt für Z zufällig konkrete Zahlen einsetzen, erhalten wir:
Wenn du nur zufällige zahlen einsetzt bekommst du natürlich nicht die richtige Zahl raus. Vor allem nicht, wenn du nur positive Zahlen einsetzt, da 5 offensichtlich größer als 2 ist.
Es gilt 2=5+3*(-1) und -1 ist eine ganze Zahl.
Zur Äquivalenz:
a − b = n c für ein c ∈ Z
<=> a = b + nc für ein c aus Z
Und das "+nc für ein c aus Z" kannst du einfach mit nZ austauschen.
Hey danke, du hast geschrieben "Es gilt 2 = 5+3*(-1)" Also das Gleichheitszeichen bedeutet, dass die Gleichung nur dann erfüllt ist, wenn c=-1 ist für c ∈ Z. Aber wenn statt = ein ∈ steht? Es ist ja nicht das Gleiche? Oder die Logik dahinter ist, dass 2 nur dann ein ein Element von 5+3*c sein kann, wenn c=-1 ist? Dann ist 2 ein Element von sich selbst?
Ich habe eben nochmal genauer gelesen, es steht a − b = n c für ein c ∈ Z. Also ist damit nur konkretes c gemeint.
Die Menge ist Symmetrisch, sie enthält die positiven und die negativen vielfaches von n, somit ist egal ob da + oder - steht
Hey Jangler, und wenn du a − b = n c für ein c ∈ Z nach b umstellst? Man erhält dann b = a - nc. Im Bild steht aber b ∈ a + nc mit c ∈ Z. Kann es sein, dass es ein Tippfehler im Bild ist?