Komplexe Zahlen multiplizieren wie Vektormultiplikation?

Hi! :)

Das Addieren komplexer Zahlen verhält sich ja genau gleich wie das Addieren zweier Vektoren. Ist das bei der Multiplikation auch so?

Danke fürs Lesen ! ;)

Answer 1

[wop53]

Hallo,

nein, das Multiplizieren bei komplexen Zahlen ist anders.

Bei Vektoren gibt es die S-Multiplikation, das Skalarprodukt und das Vektorprodukt.

Bei komplexen Zahlen bewirkt die Multiplikation eine Drehstreckung.

🤓

Answer 2

[Volens]

Bei der Multiplikation reicht das 1. Binomische Gesetz.
Wenn i² auftaucht, wird es durch (-1) ersetzt.

(a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = ac - bd + (ad + bc) i

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Answer 3

[mihisu]

Ja, und nein.

Man muss erst einmal klären, was für eine „Vektormultiplikation“ du meinst. Das ist nämlich nicht so klar.

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Bemerkung:

Man kann komplexe Zahlen als einen zweidimensionalen ℝ-Vektorraum auffassen. Und die Abbildung

$\mathbb{R}^2\to\mathbb{C},\quad \left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\mapsto x+\text{i}y$

ist ein Isomorphismus.

Die skalare Multiplikation auf ℝ²...

$\mathbb{R}\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad \left(r, \left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)\right)\mapsto r\cdot \left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}r\cdot x\\r\cdot y\end{matrix}\right)$

verhält sich dementsprechend im Grunde auch so wie die Multiplikation einer reellen Zahl mit einer komplexen Zahl, was der skalaren Multiplikation auf ℂ entspricht, ...

$\mathbb{R}\times\mathbb{C}\to\mathbb{C},\quad \left(r, x+\text{i}y\right)\mapsto r\cdot \left(x+\text{i}y\right)=r\cdot x+\text{i}\,r\cdot y$

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Das (Standard-)Skalarprodukt zweier Vektoren in ℝ²...

$\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\quad\left(\left(\begin{matrix}x_1\\y_1\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}x_2\\y_2\end{matrix}\right)\right)\mapsto \left(\begin{matrix}x_1\\y_1\end{matrix}\right)\bullet\left(\begin{matrix}x_2\\y_2\end{matrix}\right)=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2$

entspricht hingegen offensichtlich nicht der üblichen Multiplikation zweier komplexer Zahlen...

$\mathbb{C}\times\mathbb{C}\to\mathbb{C},\quad \left(x_1+\text{i}y_1, x_2+\text{i}y_2\right)\mapsto\left(x_1+\text{i}y_1\right)\cdot\left(x_2+\text{i}y_2\right)=\left(x_1\cdot x_2-y_1\cdot y_2\right)+\text{i}\left(x_1\cdot y_2 + y_1\cdot x_2\right)$

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Falls du die komponentenweise Multiplikation zweier Vektoren in ℝ² meinst...

$\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad\left(\left(\begin{matrix}a_1\\b_1\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}a_2\\b_2\end{matrix}\right)\right)\mapsto \left(\begin{matrix}x_1\cdot x_2\\y_1\cdot y_2\end{matrix}\right)$

Auch diese entspricht offensichtlich nicht der üblichen Multiplikation zweier komplexer Zahlen.

Answer 4

[J0T4T4]

Das Skalarprodukt kann diese Aufgabe eindeutig nicht erfüllen und das "normale" Kreuzprodukt ist nicht vernünftig in R² definiert.