Kombinatorik: Wieso gilt hier keine Permutation?
Ein Fahrradhändler bietet seinen Kunden die Möglichkeit, sich ihr Fahrrad aus 6 verschiedenen Rahmen, 2 verschiedenen Bremsen und 3 Lenkerformen zusammenzustellen.
Wie viele verschiedene Fahrräder sind möglich?
Dachte jetzt (6+2+3)! aber wieso geht das hier nicht?
Und wenn es nicht geht, was hätte ich dann mit (6+2+3)! an Möglichkeiten berechnet?
6*2*3 ist die Lösung, steht zumindest im Lösungsheft, also 36
2 Antworten
Hallo,
die Antwort ist 6*2*3=36.
Gefragt ist nach Kombinationen, nicht nach Permutationen.
Jeder der sechs Rahmen kann mit einer von zwei Bremsen kombiniert werden.
Das sind schon mal 12 Möglichkeiten.
Jede dieser unterschiedlichen Rahmen-Bremse-Kombination kann jeweils eine von drei Lenkerformen erhalten. Macht nach Adam Ries 12*3=36 Kombinationen.
Die Fakultäten brauchst Du, wenn Du Elemente in unterschiedliche Reihenfolgen bringen möchtest. Das nennt man dann Permutation.
Darum geht es bei dieser Aufgabe aber gar nicht. Du sollst die Räder ja nicht sortieren.
Herzliche Grüße,
Willy
11! würde nur die Anzahl der Reihenfolgen angeben, in der Du die Rahmen, Bremsen und Lenker nebeneinanderlegen kannst. Zum einen hast Du aber nicht nur 11 Komponenten, sonst könntest Du nur zwei komplette Räder bauen, da Du nur zwei Bremsen hättest. Es geht hier um eine beliebige Anzahl von Rahmen, Bremsen und Lenkern. Eingeschränkt sind nur die Formen.
Wenn Du 6000 Rahmen in sechs unterschiedlichen Ausführungen, sechstausend Bremsen in zwei, sechstausend Lenker in drei Variationen hast, kannst Du damit sechstausend Räder bauen in 36 unterschiedlichen Zusammensetzungen.
Um das zu berechnen, reicht eine einfache Multiplikation. Fakultäten haben hier nichts verloren.
Also 11! nur die Anzahl an Möglichkeiten wie ich 6 verschiedene Rahmen (R), 2 verschiedene Bremsen (B) und 3 verschiedene Lenker (L) nebeneinander legen kann?
Also wäre da auch eine Möglichkeit drin wie
LLRRBLRRLRR
Klar alle unterschiedlich, nur vereinfacht.
Richtig. Bei der Kombination ist die Reihenfolge egal. Ob Du erst den Rahmen, dann Bremse und Lenker vom Lager holst oder erst Bremse, dann Lenker, dann Rahmen, ist wurscht, solange Du alles zusammen hast, was Du brauchst. Bei der Montage mußt Du dann natürlich eine bestimmte Reihenfolge einhalten - aber danach ist hier ja überhaupt nicht gefragt.
Wie wäre denn die Fragestellung wenn die Reihenfolge unwichtig wäre? Wäre die nicht dieselbe? Weil jedes Element nur einmal vor kommen kann?
bzw. in der Kombination wäre ja z. B RLB dasselbe wie LRB und und und
Die Reihenfolge ist doch unwichtig.
Für jedes Rad brauchst Du einen Lenker, eine Bremsanlage und einen Rahmen, wobei Du die unterschiedlichen Ausführungen der Komponenten miteinander kombinieren kannst. Wo siehst Du da eine Reihenfolge?
Es geht nur darum, auf wie viele unterschiedliche Arten Du diese drei Komponenten kombinieren kannst, und das sind nun mal 36.
Dann Frage ich mich, wie dieser Rechenweg zu Stande kommt, wenn es da keine Fakultät gibt.
FÜR n Optionen an k Stellen
Erinnert mich so bisschen an
A=n^k
Nur das es mehrere Optionen als einmal n gibt, aber 3 stellen, weil 3 Möglichkeiten zusammenzusetzen.
Und das stammt doch aus der Variation, wo die Reihenfolge wichtig ist und mit Wiederholung?
Keine Potenzen, keine Fakultäten, nur eine einfache Multiplikation, mehr ist da nicht.
Dein (6+2+3)! ist deshalb falsch, weil du damit ja auch die Möglichkeiten von mehreren der 6 Rahmen oder der 3 Lenker oder die beiden Bremsen miteinander zu kombinieren mitzählst. Du tust so, als ob es 11 verschieden Variationen gäbe, die alle miteinander kombinierbar wären.
Ich habe aber noch nie ein Fahrrad gesehen, dass aus 2 oder 3 oder verschiedenen Rahmen besteht oder gleichzeitig 3 Lenker hat.
Okay okay okay die Permutation geht deshalb nicht, weil da zwar steht das alle Teile unterschiedlich sind, aber eine Permutation würde die Anzahl aufzählen, wie ich alle 11 Komponenten irgendwie kombinieren könnte, also wäre bei 11! Auch die Möglichkeit enthalten das ich 6 Rahmen habe und ein Fahrrad mit zwei Lenkern?