Können alle Flächen eines Polyeders unterschiedliche Eckenzahlen haben?
Titel spricht für sich.
Bitte Antwort mathematisch begründen
1 Antwort
Wenn wir auch "entartete" Polyeder zulassen: ja.
Eine einsame Ecke, keine Kante, eine einzige Fläche (um die Ecke herum); vorzustellen auf einer Kugeloberfläche
Wenn wir allerdings Polygone mit jeweils echt positivem Flächeninhalt haben: nein
Eulerscher Polyedersatz:
e + f = k + 2
e: Eckenzahl, f: Flächenzahl, k: Kantenzahl
Nennen wir die Anzahl der Dreiecke n_3, die der Vierecke n_4 usw.
Jede Eckenzahl darf hier höchstens ein einziges Mal vorkommen, damit sind die n_i jeweils entweder 0 oder 1. Damit können wir die auftretenden i (Eckenzahlen der Polygone) als Menge zusammenfassen:
{i_1, i_2, ..., i_f}
(es gibt ja genauso viele Eckenzahlen wie es Polygone gibt)
Jede Kante ist genau 2 Polygonen zugeordnet; die Anzahl der Kanten eines Polygons ist gleich der Anzahl seiner Ecken. Damit
k = 1/2 (i_1 + i_2 + ... + i_f)
Für die Anzahl der Ecken liefert der Eulersche Polyedersatz damit:
e = 1/2 (i_1 + i_2 + ... + i_f) + 2 - f
Jede Ecke ist mindestens 3 Polygonen zugeordnet (sonst wäre sie ein Punkt einer Kante), also
e <= 1/3 (i_1 + i_2 + ... + i_f)
Damit
1/3 (i_1 + i_2 + ... + i_f) >= 1/2 (i_1 + i_2 + ... + i_f) + 2 - f
f >= 1/6 (i_1 + i_2 + ... + i_f) + 2
Andererseits können wir die i_j der Größe nach sortieren; der kleinstmögliche Wert für i_1 ist dann 3, für i_2 4, für i_3 5 usw.
also i_1 + i_2 + i_f >= 3 + 4 + ... + (3+f-1) = 5/2 f + 1/2 f^2 (arithmetische Reihe)
Zusammengefasst:
f >= 1/6 (5/2 f + 1/2 f^2) + 2
Umgeformt:
f^2 - 7 f <= -24
Hierfür gibt es aber keine reelle Lösung, also auch keine natürlichzahlige.
Also ist die Bedingung nicht erfüllbar.
Schwierig, wenn überhaupt. Diese Überlegungen enthalten entscheidend die Summe der Eckenanzahlen der Polygone und zwei Ungleichungen, die quantitativ ausgewertet werden.
Okay, ich werde dann mal versuchen diese Erklärung zu verstehen.
Danke dir viel viel Mals,
Ich wollte nur noch kurz fragen, ob man diese Mathematische Begründung vielleicht ein wenig einfacher in Worten machen kann, damit ich sie auch gebrauchen kann bei der Erklärung bei meinem Lehrer?