Kegel Grundfläche berechnen - Volumen und Steigung der Mantelfläche bekannt
Ein Problem bei der Berechnung der Grundfläche eines Kegels führt mich zu dieser Frage.
Bekannt ist das
Volumen: 43 m³
und die
Steigung der Mantelfläche (Böschung): 45°
Kann aus diesen beiden Werten die Grundfläche des Kegels hergeleitet werden?
4 Antworten
Hallo, Jones, das sollte zu machen sein. Das Volumen eines Kegels berechnet man nach der Formel 1/3Pir^3, wobei r der noch unbekannte Radius ist. Aus dem Böschungswinkel von 45° läßt sich erschließen, daß die Steigung gleich 1 ist. Wenn wir den Kegel von der Seite betrachten, sehen wir also ein gleischschenkliges und rechtwinkliges Dreieck, bei dem die sogenannte 'Böschung' der Hypotenuse entspricht, der Radius der Grundfläche des Kegels und seine Höhe die Katheten bilden. Aus der Gleichschenkligkeit folgern wir, daß die Höhe und der Radius die gleiche Länge besitzen. Nun reduzieren sich die beiden Unbekannten, nämlich die Höhe und der Radius in der Kegelformel zu einer einzigen, nämlich dem Radius. In diesem speziellen Fall lautet unsere Formel: V=1/3Pir^3; da h=r ist, wird aus r^2h eben r^3. Jetzt haben wir, da das Volumen bekannt ist, eine Gleichung: 43m^3=1/3Pir^3. Diese Gleichung nach r aufgelöst lautet: r^3=343m^3/Pi, welches 41,062m^3 ergibt. Da wir aber r suchen, nicht r^3, müssen wir aus dem Ergebnis noch die dritte Wurzel ziehen - welche rund 3,45m ergibt. Nun können wir den Wert für r in die Formel für die Kreisfläche (Pi*r^2) einsetzen und bekommen, so unsere Taschenrechner ihr Geld wert sind, ~37,392 m^2 heraus. Ich hoffe, mit dieser Antwort weitergeholfen zu haben und wünsche noch einen schönen Tag. Gruß, Gerald
Bei 45° ist der Sinus gleich dem Cosinus. Was in diesem Fall bedeutet, daß der Radius der Grundfläche gleich der Höhe des Kegels ist. Eine Skizze des Kegels von der Seite mit eingetragenem 45° Winkel hilft.
Danke für den Hinweis. :) Und wie bekomme ich meine 43 m³ Volumen jetzt in das System?
Mit folgenden Formeln geht es -->
r = ∛(3 / pi) * ∛(V) * ∛((1 / tan (Sigma)))
G = pi * r ^ 2
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Sigma = Steigung der Mantellinie = Schüttwinkel = Böschung
r = Radius
V = Volumen
G = Grundfläche
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r = 3.4499538 m
G = 37.39180508 m ^ 2
Nach Enders9 ist r = h, daher V = ⅓ π r ² h = ⅓ π r² r = ⅓ π r³ = V
oder r³ = 3V/π . So erhält man r und A = π r²