Kann mir jemand erklären wie man hier abgeschätzt hat?
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Welcher Teil der Abschätzung ist unklar?
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/13_nmmslarge.png?v=1551279448000)
warum wurde in der klammer (1-x) durch (1-t) ersetzt und wie man dann nach oben durch 1/2 abschätzt
1 Antwort
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Bei der Definition der Beta-Funktion hat sich dort ganz am Anfang ein Schreibfehler eingeschlichen, der Integrand lautet natürlich:
Im folgenden eine alternative Darstellung, eventuell wird das klarer:
Für x,y > 0 spaltet man das Integral wie folgt auf:
Die beiden Integrale der Summe werden im folgenden Integral 1 und 2 genannt.
#####
{x,y} ≥ 1 :
Bei den Integranden handelt es sich um eine beschränkte Funktion mit dem Maximum 1, den 0 <= t <= 1 und 0 <= (1-t) <= 1 und damit existiert das Integral.
#####
0 < {x,y} < 1 :
- Integral 1, d.h. t € [0, 1/2]:
Das Maximum der Basis ist 2 und der Exponent (1-y) > 0. Deshalb liegt das Maximum dieses Terms bei 2 und kann als Faktor vor das Intervall gezogen werden. Somit reduziert sich das Integral 1 wie folgt:
- Integral 2, d.h. t € [1/2, 1]
Hier gilt die gleiche Abschätzung wie eim Integral 1. reduziert sich das Integral 1 wie folgt:
Weil die beiden uneigentlichen Integrale
für 0 < {x,y} < 1 konvergieren, konvergiert nach dem Majorantenkriterium auch die Beta-Funktion für {x,y} > 0.
#####
x < 0 :
Integral 1, d.h. t € [0, 1/2]:
Dieser Ausdruck divergiert, denn die Basis divergiert für t --> 0, und der Exponent ist > 0, deshalb divergiert das Integral 1.
y < 0 :
Integral 2, d.h. t € [1/2 , 1]:
Dieser Ausdruck divergiert, denn die Basis divergiert für t --> 1 und der Exponent ist > 0, deshalb divergiert das Integral 2.
![- (rechnen, Mathematiker, Analysis)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/542775016/0_big.png?v=1714105978000)
![- (rechnen, Mathematiker, Analysis)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/542775016/1_big.png?v=1714105978000)
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warum muss man das integral eigentlich aufspalten?
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Muss man nicht, das dient nur der besseren Erklärung. Ausserdem entstehen bei der zweiten Abschätzung für 0 < {x,y} < 1 aufgrund der Konstanten 2^(y-1) und 2^(x-1) sowieso zwei verschiedene Integrale.
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warum bleibt, wenn man die konstanten rauszieht bei einem t^(x-1) übrig und bei dem anderen (1-t)^(y-1) müsste da dann nicht auch t^(y-1) stehen? ah wahrscheinlich ein tipp fehler
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Das ist kein Schreibfehler. Ich habe meine Antwort überarbeitet und noch weiter abstrahiert.
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Habe meine Antwort überarbeitet und ergänzt. Damit wird auch klarer, warum die Aufspaltung des Integrals die Abschätzung vereinfacht.
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kannst du mir nochmal erklären wann ein integral konvergiert das habe ich noch nicht verstanden
Danke für den Stern