Kann mir jemand das Verhältnis zwischen papst und kaiser im mittelalter erklären?

In welchem Teil des MA, wir reden hier von grob 1000 (tausend) Jahren.

Aber global und pauschal:
Das Verhältnis war von Machtkampf, politischen Eigeninteressen und konkurrenten Herrschaftsansprüchen über Gebiete und Regionen bestimmt.

Wer darf dem anderen befehlen, wer darf Ämter mit der eigenen Gefolgschaft besetzen, wer hat als erster Zugriff auf Werte, wer besitzt die Deutungshoheit von Herrschaft?

Es gab einen Investitionsstreit oder wie man das schreibt, da stritten sich der Kaiser und der Papst darum wer das Recht hat die Bischöfe einzusetzen. Dieser gipfelte sogar soweit dass sich beide (Friedrich II und Gregor VII) gegenseitig absetzten. Friedrich wurde dann vom Papst aus der Kirche verbannt und musste es schaffen innerhalb eines Jahres wieder aufgenommen zu werden sonst hätte er sein Amt als Kaiser verloren. Friedrich II machte dann den Gang nach Canossa und bettelte den Papst an ihm zu verzeihen

Mir sind weitere größere Unstimmigkeiten zwischen Kaiser und Papst nicht bekannt

Ein Mann konnte sich mit Waffengewalt ein Königreich erobern. Damit war er aber erst mal nur ein Eroberer. Davon gab es Viele und der nächste Eroberer konnte ihm dann seinerseits wieder alles wegnehmen.

Allein der Papst konnte Dich zum Herrscher "von Gottes Gnaden" krönen (natürlich in der Regel auch nicht aus reiner Nächstenliebe). Das eröffnet ganz andere Möglichkeiten in einer Welt, in der noch jeder an Gott geglaubt hat.

Letztlich brauchte der Kaiser den Segen des Papstes um seine Herrschaft zu festigen und der Papst brauchte den Kaiser wenn der Vatikan mal eigene Interessen durchsetzen oder sonstige Drecksarbeit zu erledigen hatte. Der Vatikan hat ja keine eigene Armee.

Zweischwerterlehre:

"In der Frühphase des Investiturstreites etwa konnte König Heinrich IV. die Zweischwerterlehre anführen, um seine im weltlichen Bereich unbeschränkte Position zu betonen. Auf päpstlicher Seite verwies man darauf, dass sich bei Lukas die Apostel im Besitz der Schwerter befinden. Auf den Papst zugespitzt wurde unter Verweis auf Matthäus (Mt 26,52 EU), wo Jesus Petrus anweist, sein Schwert in die Scheide zu stecken. Der Papst verfüge daher als Nachfolger des Apostels Petrus über die Schwerter, über das weltliche Schwert (gladius materialis) und das geistliche, überlasse das weltliche aber freiwillig und widerruflich dem Kaiser. Eine erste Ausformulierung dieser Interpretation findet sich im Dictatus Papae 1075, später bei Bernhard von Clairvaux.

In dieser Form wurde die Zweischwerterlehre ein bis in das 14. Jahrhundert oft wiederholtes Argument für den Vorrang der päpstlichen gegenüber der kaiserlichen Gewalt. Besondere Zuspitzung erfuhr dies durch Papst Bonifatius VIII., der 1302 in der Bulle „Unam Sanctam“ nicht die tatsächliche weltliche Macht für sich forderte, wohl aber die Unterordnung der Monarchen, was in diesem Fall gegen den französischen König gerichtet war. Das weltliche Schwert unterstünde dem geistlichen, es werde vom Papst eingesetzt und geduldet, oder anders ausgedrückt: Das geistliche Schwert werde von der Kirche geführt und das weltliche für die Kirche. Darüber hinaus soll die geistliche über die weltliche Gewalt Recht sprechen, wobei sie selbst nur Gott verpflichtet ist. Da der politische Einfluss des Papstes mit dem Tod des Bonifatius endete, schwand die faktische Bedeutung der Zweischwerterlehre zum Ausgang des Mittelalters.

Das grundsätzliche Problem einer politisch tätigen Kirche und der Verbindungen zwischen Thron und Altar bestand allerdings im weiteren fort. Im Anschluss an die Zweischwerterlehre interpretierte der lutherische Protestantismus im Rückgriff auf Schriften und Aussagen Martin Luthers diese neu im Sinne einer Zwei-Reiche-Lehre." (Wikipedia)

Zunächst gab es also die Vorstellung getrennter Bereiche. Als der Papst die Vorherrschaft beanspruchte, verwies er darauf, das weltliche Schwert sei dem Kaiser nur geliehen. 

Dass der Kaiser das (geistliche) Schwert des Papstes führe, wurde nicht behauptet, wohl aber, dass er der Herr der Bischöfe sei. Um das Vorrecht von Kaiser oder Papst bei der Investitur der Bischöfe ging der Investiturstreit.

In der Theorie hatte der König die staatliche Macht und der Papst die kirchliche.

Da die Kirche aber im Mittelalter sehr viel Einfluss und Geld hatte, griff der Papst auch sehr häufig in den staatlichen Bereich ein.

man bezeichnete das früher auch als Zwei-Schwerter Lehre. Wobei der König das Schwert vom Papst mitführte, da der Papst natürlich nicht kämpfen durfte bzw. kein Heer dazu hatte, aber so die Entscheidungen dazu treffen konnte.

Da gibst gute Zeichnungen aus dem Mittelalter zu, falls das eine Präsentation oder so werden soll :-)