Kann mir jemand bei dieser Cauchy Folge helfen?

Hallo, leider war ich an dem Tag krank, als wir an der Uni Cauchy Folgen besprochen hatten und ich bin jetzt sehr verwirrt und verstehe dieses Beispiel nicht. Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte :(

Vorallem steht oben noch in der Folge ein a mit kleinem n und -1.

Was soll das bedeuten? Ich weiß, dass "an" die Folge ist, aber die -1 dahinter verstehe ich nicht :( Außerdem verstehe ich auch nicht, was er weiterhin gemacht hat:(

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Da steht

$a_1 = 1$ $a_n = \frac{a_{n-1}}{2} + \frac{1}{a_{n-1}} \qquad n \geq 2$ Das -1 sollte auch tiefgestellt sein und zu dem n gehören. In den Aufzeichnungen ist das nicht so deutlich.

Das ist eine rekursive Definition einer Folge. Der erste Wert ist gegeben und für alle weiteren Folgenglieder kann man den Wert des n-ten Folgengliedes aₙ mit dem Wert des vorherigen Folgengliedes berechnen, welches den Index n-1 hat. Um a₂ zu berechnen setzt man in die Formel also a₁ = 1 ein und erhält das Ergebnis 3/2.

Die hier gegebene Formel stellt das Heronverfahren zur Berechnung der Quadratwurzel von 2 dar.

Links wird bereits angenommen, dass (aₙ) konvergiert, genauer darf der Grenzwert auch nicht 0 sein. Mit Hilfe der Grenzwertsätze erhält man eine Gleichung, die man nach dem gesuchten Grenzwert auflösen kann.

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_{n-1}}{2} + \frac{1}{a_{n-1}} \right) = \\ = \frac{\lim_{n \to \infty} a_{n-1}}{2} + \frac{1}{\lim_{n \to \infty} a_{n-1}} = \frac{\lim_{n \to \infty} a_{n}}{2} + \frac{1}{\lim_{n \to \infty} a_{n}}$

Rechts wird gezeigt bzw behauptet, dass

$2 \leq a_n^2 \leq 2 + \frac{1}{2^n} \qquad n \geq 2$

Daraus folgt, dass die Folge der Quadrate nach dem Sandwichprinzip gegen 2 konvergiert.

Unten steht die Definition für Cauchy-Folge und ein Induktionsbeweis, dass 1 ≤ aₙ ≤ 2 für alle n ∈ ℕ.

Comments

[Mel48]

Ich glaub ich muss mir das ganze in Ruhe nochmal anschauen 😅Vielen Dank für deine sehr ausführliche Antwort !

[Mathmaninoff, UserMod Light]

@Mel48

Gerne :)

Du hast ein ganzes Blatt gepostet. Da kann ich nicht auf alles ausführlich eingehen. Unter dem Stichwort Heronverfahren findest du eventuell gute Erklärungen. Wenn etwas unklar ist, frage gerne konkret nach.

[Mel48]

@Mathmaninoff, UserMod Light

Okey, vielen vielen Dank!

Answer 2

[trofos]

Was soll das bedeuten?

Damit ist

$a_{n-1}$ gemeint. Und das ist der Vorgängerwert der Folge von n für n>1.

Comments

[Mel48]

Ohh okey danke! also wenn ich n= 3 hab ist mein Vorgängerwert einfach 2 ? 😅

[trofos]

@Mel48

Ja, bei a3 ist das a2

[Mel48]

@trofos

Ahh okey, danke:)