Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Ich komme bei (2) nicht weiter. Kann mir jemand bitte Schritt für Schritt erklären was ich bei dieser Aufgabe rechnen muss mit Lösungsweg bitte.

Answer 1

[mihisu]

Im relevanten Bereich (von x = 0, bei der y-Achse; bis x = 1) schneiden sich die Funktionsgraphen nicht, sodass man den Flächeninhalt erhält, indem man die Differenz f(x) - g(x) im Bereich von x = 0 bis x = 1 integriert. [Denn der Graph von f verläuft oberhalb des Graphen von g. Wenn es Bereiche geben würde, bei denen der Graph von g oberhalb des Graphen von f verlaufen würde, müsste man in diesen Bereichen stattdessen g(x) - f(x) integrieren.]

Für den gesuchten Flächeninhalt A erhält man also...

$A=\int\limits_{0}^{1}\left(f(x)-g(x)\right)\,\text{d}x$

$\rightarrow\quad A=\int\limits_{0}^{1}\left(e^x+\frac{1}{2}x+1-\frac{1}{2}x\right)\,\text{d}x$

$\rightarrow\quad A=\int\limits_{0}^{1}\left(e^x+1\right)\,\text{d}x$

[Für eine mögliche Stammfunktion zu e^x erhält man e^x. Für eine mögliche Stammfunktion zu 1 erhält man x. Für eine mögliche Stammfunktion zu e^x + 1 erhält man damit e^x + x.]

$\rightarrow\quad A=\left[e^x+x\right]_0^1$

$\rightarrow\quad A=\left(e^1+1\right)-\left(e^0+0\right)$

$\rightarrow\quad A=\left(e+1\right)-\underbrace{\left(1+0\right)}_{=1}$

$\rightarrow\quad A=e+1-1$

$\rightarrow\quad A=e$

Der gesuchte Flächeninhalt entspricht also der eulerschen Zahl (e ≈ 2,72).