Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?

bräuchte Hilfe bei dem 2., also (ii).

Vielen Dank im Vorraus!

Comments

[HasseLeben33]

Wieso sollen wir deine Hausaufgaben machen?

[Angel832]

Sollt ihr nicht, niemand hat gesagt, dass man mir die Lösung geben soll, nur lediglich eine Denk Hilfe zB.

[DerRoll]

Wo genau ist da denn dein Problem? Das ist elementare Mengenlehre, du tust gut daran dir diese Grundlagen selbst zu erarbeiten. Leichter wird es nämlich nicht.

[Angel832]

also aus x element von f(irgendwas) folgt nicht immer f hoch -1(x) ist teilmenge von irgendwas oder? Eigentlich gilt das nur wenn f injektiv ist oder?

[MipiPann]

Die Leute die hier große Nachfragen stellen könnten das selbst nie Beweisen und reden groß

[Angel832]

Ist so 👆🏻

Answer 1

[ReimundAcker]

Hilfssatz (HS): Seien
(1) f: X → Y eine Abbildung
(2) B ⊆ Y
(3) b∈B.
Dann gilt f^-1(b) ⊆ f^-1(B).

Beweis:
(4) Sei a ∈ f^-1(b)
(5) f^-1(b) = {x∈X | f(x)=b} .................... nach Def. f^-1
(6) f(a) = b ........................................... wg. (4) & (5)
(7) f(a) ∈ B .......................................... wg. (3) & (6)
(8) f^-1(B) = {x∈X | f(x)∈B} ................... nach Def. f^-1
(9) a ∈ f^-1(B) ........................................ wg. (7) & (8)
(10) f^-1(b) ⊆ f^-1(B) ............................... wg. (4), (9) & Def. ⊆
q.e.d.

Behauptung (i): Seien
(v1) f: X → Y eine Abbildung
(v2) I ≠ ⊘ eine Menge
(v3) ∀i∈I: B_i ⊆ Y.
Dann gilt ∩_i∈I f^-1(B_i) = f^-1(∩_i∈I B_i).

Zum Beweis der Gleichung genügt es zu zeigen, dass die Menge auf der linken Seite Teilmenge der Menge auf der rechten Seite ist und die Menge rechts Teilmenge der Menge links.

Beweis von ∩_i∈I f^-1(B_i) ⊆ f^-1(∩_i∈I B_i):
(1) Sei a ∈ ∩_i∈I f^-1(B_i)
(2) ∀i∈I: a∈f^-1(B_i) .............................. wg. (1) & Def. ∩
(3) ∀i∈I: f^-1(B_i) = {x∈X | f(x)∈B_i} ........ nach Def. f^-1
(4) ∀i∈I: f(a)∈B_i .................................. wg. (2) & (3)
(5) f(a)∈∩_i∈I B_i ................................... wg. (4) & Def. ∩
(6) f^-1(f(a)) ⊆ f^-1(∩_i∈I B_i) ...................... wg. (5) & HS mit b:=f(a), B:=∩_i∈I B_i
(7) f^-1(f(a)) = {x∈X | f(x)=f(a)} .............. nach Def. f^-1
(8) a ∈ f^-1(f(a)) ...................................... wg. (7)
(9) a ∈ f^-1(∩_i∈I B_i) ................................. wg. (6) & (8)
(10) ∩_i∈I f^-1(B_i) ⊆ f^-1(∩_i∈I B_i) ............... wg. (1), (9) & Def. ⊆

Beweis von f^-1(∩_i∈I B_i) ⊆ ∩_i∈I f^-1(B_i):
(1) Sei a ∈ f^-1(∩_i∈I B_i)
(2) f(a) ∈ ∩_i∈I B_i .................................... wg. (1) & Def. f^-1
(3) ∀i∈I: f(a) ∈ B_i .................................. wg. (2) & Def. ∩
(4) f^-1(f(a)) = {x∈X | f(x)=f(a)} .............. nach Def. f^-1
(5) ∩_i∈I B_i ⊆ Y ....................................... wg. (v3)
(6) f^-1(∩_i∈I B_i) ⊆ X ................................ wg. (v1) & Def. f^-1
(7) a ∈ X ............................................... wg. (1) & (6)
(8) a ∈ f^-1(f(a)) ..................................... wg. (4) & (7)
(9) ∀i∈I: f^-1(f(a)) ⊆ f^-1(B_i) .................... wg. HS, (3) & (v3)
(10) ∀i∈I: a ∈ f^-1(B_i) ............................ wg. (8) & (9)
(11) a ∈ ∩_i∈I f^-1(B_i) .............................. wg. (10) & Def. ∩
(12) f^-1(∩_i∈I B_i) ⊆ ∩_i∈I f^-1(B_i) ............... wg. (1), (11) & Def. ⊆
q.e.d.

Behauptung (ii): Seien
(v1) f: X → Y eine Abbildung
(v2) I ≠ ⊘ eine Menge
(v3) ∀i∈I: A_i ⊆ X.
Dann gilt f(∩_i∈I A_i) ⊆ ∩_i∈I f(A_i).

Beweis:
(1) Sei b ∈ f(∩_i∈I A_i)
(2) f(∩_i∈I A_i) = {y∈Y | ∃x∈∩_i∈I A_i: y=f(x) } ........ nach Def. f()
(3) ∃a∈∩_i∈I A_i: b=f(a) ....................................... wg. (1) & (2)
(4) ∀i∈I: a∈A_i .................................................... wg. (3)
(5) ∀i∈I: f(A_i) = {y∈Y | ∃x∈A_i: y=f(x)} ............... nach Def. f()
(6) ∀i∈I: f(a) ∈ f(A_i) .......................................... wg. (4) & (5)
(7) ∀i∈I: b ∈ f(A_i) .............................................. wg. (3) & (6)
(8) b ∈ ∩_i∈I f(A_i) ................................................ wg. (7) & Def. ∩
(9) f(∩_i∈I A_i) ⊆ ∩_i∈I f(A_i) ................................... wg. (1), (8) & Def. ⊆

Behauptung (iii): In Behauptung (ii) kann in der letzten Zeile ⊆ nicht durch = ersetzt werden.

Beweis durch Gegenbeispiel:
Seien X:={1;2}, Y:={3}, I:={1;2}, A₁ := {1}, A₂ := {2}, f: X→Y mit f(1):=3 und f(2):=3.
Dann folgt:
(1) ∩_i∈I A_i = A₁∩A₂ ............................. wg. Def. ∩ und I
(2) A₁∩A₂ = ⊘ ..................................... wg. Def. A₁, A₂ und ∩
(3) f(∩_i∈I A_i) = ⊘ .................................. wg. (1), (2) & f(⊘) = ⊘
(4) f(A₁) = {3} ....................................... wg. Def. f, A₁
(5) f(A₂) = {3} ....................................... wg. Def. f, A₂
(6) f(A₁)∩f(A₂) = {3} ............................ wg. (4), (5) & Def. ∩
(7) ∩_i∈I f(A_i)= {3} ................................. wg. (6) & Def. ∩
(8) 3 ∈ ∩_i∈I f(A_i) .................................. wg. (7)

(9) 3 ∉ f(∩_i∈I A_i) .................................. wg. (3) & Def. ⊘
(10) f(∩_i∈I A_i) ≠ ∩_i∈I f(A_i) .................... wg. (8), (9) & Def. ≠
q.e.d.

Anmerkung zur Schreibweise der Beweise

• Jede Zeile enthält eine Annahme oder eine Aussage, die aus vorhergehenden Zeilen folgt.
• Die Zeilen sind am Anfang mit Nummern in runden Klammern versehen.
• Die Begründung jeder Aussage steht unmittelbar dahinter in derselben Zeile und wird nötigenfalls in darauffolgenden Zeilen fortgesetzt.
• Die Zeilennummern in einer Begründung beziehen sich auf die Zeilen, aus denen die aktuelle Aussage folgt.
• Alle Annahmen werden im Laufe des Beweises logisch aufgelöst, so dass die bewiesene Behauptung am Ende nicht von ihnen abhängt.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – LMU München, Dipl. Math., eigene Recherche

Comments

[Angel832]

Dankeschön!