Kann man die Miete auch an den Vermieter auf die Hand zahlen?

Verboten ist es nicht. Wenn der Vermieter damit einverstanden ist geht das.

Dann ist aber eine Quittung unerlässlich

Ja, sollte man sich aber Quitieren lassen.

Nur mit Quittung!

Mietrecht ist Privatrecht - hier gilt (weitgehend) Gestaltungsautonomie. Wenn beide Seiten damit einverstanden sind, dann geht das. Ich würde mir aber trotzdem eine Quittung geben lassen, falls es jemals zu Streitigkeiten kommen sollte.

Du zahlst genau so, wie es im Mietvertrag vereinbart ist. Wenn da steht Barzahlung, will er sogar, dass du es ihm in die Hand drückst.