Kann man die letzte Ziffer einer Zahl bestimmen?
Wenn ich z.B. 6^41627825 habe, wie berechne ich dann ohne die Zahl zu kennen weil sie zu groß ist die letzte Ziffer?
6 Antworten
musst du für jede basis ne extra formel aufstellen ... die du genannt hast ist leicht. Basis 6 gibt immer als Einerzahl eine 6.
6 * 6 = 36, 6 * 6 * 6 = 216, .... wird immer 6 am Ende sein.
Bei anderen Basen gibts eine periodische Auswahl an Zahlen mit denen du eine leichte Formel basteln kannst.---
bei 2:
2 * 2 = 4, 8, 16, 32, 64, ... wiederholen
also bei 2 wiederholt sich die Folge {2, 4, 8, 6} das heißt
du teilst den exponenten durch 4 ...
kommt als rest 1: dann ist die Einerzahl 2
2: 4, 3: 8, rest 0: einerzahl 6. Nun noch eine Formel finden, die einen großen exponenten leicht den Rest bei einer Division durch 4 rausfinden lässst ... usw.
sorry falsch: rest 1 ergibt 2 ... also ist nicht die 4te sondern die 3te zahl der folge das Ergebnis ... also 8
Hallo,
da 6*6 eine Zahl mit einer 6 am Ende ergibt, nämlich 36, gibt auch 36 eine Zahl mit einer 6 am Ende, 216, usw. Alle Potenzen von 6 mit natürlichen Exponenten außer Null haben am Ende eine 6 stehen, also auch Deine Zahl.
Dasselbe ist bei der 5, immer 5 am Ende) der Fall oder bei Zehnerpotenzen (immer 0 am Ende). Auch bei Zahlen, die am Ende eine 1 stehen haben, enden die Potenzen mit natürlichen Exponenten, hier sogar einschließlich der Null, auf 1.
Herzliche Grüße,
Willy
Es gibt den Pow-Mod-Algorithmus, mit den man ohne extrem große Zwischenergebnisse zum Ziel kommt.
Mod steht für Modulo = Divisionsrest
x % y = x mod y = x - floor(x/y)*y mit floor = Abrundungsfunktion
Der Iterationsrechner unter
http://www.lamprechts.de/gerd/Roemisch_JAVA.htm
zeigt das online im Beispiel 122
Wenn man letzte Stelle braucht, entspricht das Mod 10
braucht man 2 letzte Stellen mod 100
n letzte Stellen mod (10^n)
Für 2 Stellen also Init: aB[0]=a=6;b=41627825;c=100;
Nach 26 Schritten (Iterationen) ist man fertig -> siehe Bild 1
Der wissenschaftliche Umkehrfunktionen Rechner
php / RechnerMitUmkehrfunktion.php (auch im 1. LINK verlinkt)
kann bei der pow(x,y)-Funktion extrem viel mehr Stellen:
1.187138801258945388682272825...e32392744
mod N =62185373523334486174202512836925772005376
Bild 2
Ich kann Dir auch gern alle 32392745 Stellen ausrechnen -> dann bitte mit Begründung.
Die letzte Ziffer eines Produkts hängt nur von der letzten Ziffer der beiden Faktoren ab.
Für das folgende gelte: "[...]" ist die letzte Ziffer einer natürlichen Zahl (im Dezimalsystem), also beispielsweise [4]=4 [23]=3 [6238249]=9.
Da 6^41627825 = 6^41627824 * 6 folgt [6^41627825]=[6^41627824] * [6]
Jetzt könntest du unter Verwendung der Tatsache, dass [6²]=[36]=6 mittels Vollständiger Induktion beweisen, welches die letzte Ziffer von 6^41627825 sein muss.
Oder aber du guckst dir an, was [6²], [6³] und [6⁴] sind und reimst dir die Lösung für [6^41627825] selbst zusammen.
Alle Potenzen von 6 haben eine 6 am Ende.
Lässt sich auch beweisen, habe dazu aber keine Lust.
Die Zweierpotenzen enden der reihe nach auf 2, 4, 8 und 6, danach kommt wieder eine 2. Also 2^(4n+1) endet auf 2, 2^(4n+2) auf 4,
2^(4n+3) auf 8 und 2^(4n) auf 6.
Teile die 527829275 durch 4 und ermittle den Rest (3)
2^(4n+3) hat am Ende eine 8.
Gruß,
Willy
also ist die vorletzte Zahl gerade, dann ist der Rest der Division durch 4 das gleiche wie wenn man nur die letzte zahl durch 4 teilt, d.h. Rest 0 bei 0, 4, 8, Rest 1 bei: 1, 5, 9, Rest 2 bei 2, 6, Rest 3 bei 3,7.
ist die vorletzte Zahl ungerade, dann ist der Rest der Division durch 4 das gleiche, wie wenn man 10 plus die letzte Ziffer durch 4 teilt, d.h. Rest 0 bei 2, 6, Rest 1 bei 3,7, Rest 2 bei 0, 4, 8, Rest 3 bei 1, 5, 9.
2^527829275 hat folgende Einerzahl:
15 mod 4 = 3
4te Zahl der Folge (erste zahl gilt als Rest 0): { 2, 4, 8, 6 } = 6