k-fache Komposition einer Permutationsgruppe?
Hallo,
gibt es hier einen Satz? Ich verstehe nicht, wie ich die k-fache Komposition einer Permutationsgruppe berechne.
1 Antwort
Hallo,
du meinst wahrscheinlich die k-fache Komposition (= Hintereinanderanwendung, Multiplikation) eines Elements einer Permutationsgruppe.
gibt es hier einen Satz?
Es gilt folgendes:
Die Ordnung eines Gruppenelements g einer Gruppe G ist die kleinste Zahl k ∈ ℕ für die gilt : gᵏ = e (e = neutrales Element von G).
Nach dem Satz von Lagrange hat jedes Element einer endlichen Gruppe endliche Ordnung. Daraus folgt, dass die Ordnung eines Gruppenelements die Ordnung der Gruppe teilt.
Ich verstehe nicht, wie ich die k-fache Komposition einer Permutationsgruppe berechne.
Ein Beispiel: Permutationsgruppe S4
sei a = (1->2 | 2->4 | 3->1 | 4->3)
Was ist a² = a ◦ a ?
1->2->4
2->4->3
3->1->2
4->3->1
d.h. a² = (1->4 | 2->3 | 3->2 | 4->1) , usw.
Ist das verständlich?
Gruß
Also läuft es quasi immer darauf hinaus, dass irgendwann die Identität rauskommt?
Rechne die ersten Potenzen doch einfach mal aus.
Wenn ich mich irre, gilt für die Permutation im Bild, nennen wir sie mal a : a^5 = e .
Du brauchst also nur die ersten 5 Potenzen auszurechnen. Allgemein gilt dann
a^k = a^(k mod 5) .
Gibt es dann überhaupt eine eindeutige Antwort auf die Frage? Oder muss ich da Fälle unterscheiden?
Berechnen Sie folgende Elemente der symmetrischen Gruppe:
Ok, und welche symmetrische Gruppe ist gemeint? S2, S3, S4 ... ?
Ok, danke! Ich rechne es mal aus und schreibe es auf, das wird aber einige Minuten dauern.
Vielen, vielen Dank für die tolle Unterstützung!
Hier die (1) : https://postimg.cc/4mSVFvr3
Reicht dir das schon, oder soll ich weitermachen?
Achso, ja danke. Die ersten beide haben ich schon gemacht ^^ es ging mir nur um (3)... :)
Ich kriege übrigens das gleiche raus, danke für die Kontrolle.
Ja, dann kann man in der Tat a^(k)=a^(k mod 5) schreiben.
P.S. Bildet man a⁴ , so sieht man, dass a⁴ = a² ◦ a² = e .
Es gilt : 4 teilt |S4| = 24