Ist Römisch-Katholische was anderes als Katholisch?

Nein und Ja: In Deutschland ist „katholisch“ ohne weitere Zusätze gesetzlich nur für römisch-katholisch erlaubt. Ein katholisches Altersheim würde also von der Caritas oder einem anderen römisch-katholischen Träger geführt. Da römisch-katholisch die mit Abstand größte Konfession in katholischer Tradition ist, wird es auch meistens so verstanden.

Es gibt aber noch andere, kleinere Kirchen, die „katholisch“ im Namen führen, weil katholisch noch mindestens zwei andere Bedeutungen hat:

1. oft spricht man von katholisch im Unterschied zu evangelisch oder protestantisch, und versteht beides als Sammelbezeichnung für je einen ganzen Zweig der Christenheit: Beide sind Teil der lateinischen oder Kirche des Westens im Unterschied zu den orthodoxen und den alt-orientalischen Kirchen. Die evangelischen oder protestantischen Kirchen stehen dabei in der Tradition der Reformation (um 1500) und beziehen sich auf Martin Luther, auf Calvin oder Zwingli. Die größte ist dabei in Deutschland die EKD und die zu ihr gehörenden evangelischen oder evangelisch-lutherischen Landeskirchen, aber auch Methodisten und Reformierte gehören dazu.
2. heißt katholisch oder genauer das griechische καθολικός „allumfassend“. In dem Sinne heißt katholisch, dass man sich auf die eine Kirche Christi bezieht, die über alle konfessionellen Unterschiede die Gemeinschaft der gesamten Christenheit umfasst.

Von den kleinen Kirchen mit „katholisch“ im Namen ist die Alt-Katholische Kirche eine der größeren, anerkannten – trotzdem sie nur gut 15.000 Mitglieder in Deutschland verzeichnet. Sie ist staatlich als Körperschaft öffentlichen Rechts anerkannt und nimmt am Kirchensteuereinzug teil, und arbeitet ökumenisch mit vielen anderen Kirchen zusammen, mit u.a. der anglikanischen Kirche/Church of England und der lutherischen Kirche in Schweden besteht sogar volle Kirchengemeinschaft. Konservativ ist die Alt-Katholische Kirche allerdings nur in ihrem Bezug auf die alte, ungeteilte Kirche des 1. Jahrtausends (siehe oben, Definition 2), in der auch die Entscheidungen immer vor Ort verankert sein mussten und nicht zentral in Rom erfolgten. Unsere Pfarrerinnen(!) und Pfarrer dürfen z.B. heiraten, darunter sind auch lesbische und schwule Amtsinhaber:innen. Und zur Teilnahme an der Eucharistie sind nicht nur die Mitglieder unserer Kirche eingeladen, sondern alle getauften Christinnen und Christen. Aber das geht jetzt schon über Deine Frage hinaus :-)

Katholisch heißt "allumfassend". Die römisch-katholische Kirche verdankt
ihren Zusatznamen dem Sitz des Papstes in Rom. Sie vereint die meisten
Katholiken in der westlichen Welt. Neben ihr gibt es unter anderem noch
die katholischen Ostkirchen, die griechisch-katholische Kirche und die
syrisch-katholische Kirche.

Der Name "römisch-katholisch" entstand in der Reformationszeit. Er sollte dazu beitragen, die verschiedenen Richtungen der christlichen Kirchen besser unterscheiden zu können.

Es gibt auch noch "altkatholisch". Das ist etwas anderes, da dürfen z.B. auch Frauen Pfarrerin werden, und die Pfarrer dürfen auch heiraten. 

Wenn man genau unterscheiden will, sollte man also "römisch-katholisch" sagen, wobei die meisten Menschen unter "katholisch" ohnehin nichts anderes verstehen würden.

Ja, es gibt einen Unterschied.

Mit "römisch-katholisch" bezeichnet man eine Konfession, mit "katholisch" eine Eigenschaft der Kirche.

Ja. Ist etwas anderes.