Ist diese Relation symmetrisch und transitiv?
5 Antworten
Symmetrie kriegst du leicht hin. Sagen wir, es gilt xRy, du willst dann yRx folgen. Da das irgendwie mit der Eigenschaft geschehen sollte, bleibt dir nichts anderes übrig, als c = y und b = x zu setzen. Dann gilt offenbar Dann müssen wir a noch so wählen, dass aRx und aRy gilt. Dafür bietet sich wieder a = x an, denn R ist reflexiv, d.h. es gilt xRx, und nach Voraussetzung gilt xRy. Dies zeigt also die Symmetrie der Relation.
Seien nun xRy und yRz gegeben. Daraus folgt dann auch yRx. Setzen wir a = y, b = x, c = z, so ist die Voraussetzung gegeben und es folgt xRz. Also ist R transitiv.
R muss nicht antisymmetrisch sein. Betrachte dazu die Menge X = IN und die Relation R = IN^2, d.h. alle Elemente stehen in Relation zueinander.
Transitivität lässt sich nicht bejahen, da (aRb und bRc) nicht aRc impliziert, aber auch nicht verneinen, da es durch die Definition nicht ausgeschlossen ist.
Falls c=a, dann (aRb und aRa) => bRa, und da die Relation reflexiv ist, ist aRa immer drin, also aRb => bRa und andersherum (da das für alle a,b gilt), also symmetrisch.
Ok ist bei mir wohl zu lange her, mihisu hat Recht. Ist tatsächlich auch transitiv.
Ja.
Bei https://www.gutefrage.net/frage/ist-die-relation-antisymmetrisch hatte ich dir das übrigens bereits in meiner Antwort geschrieben:
Man kann zeigen, dass eine entsprechende Relation immer symmetrisch und transitiv ist.
Für die Symmetrie solltest du den Fall c = a bei (aRb∧aRc)⇒bRc betrachten.
Für den Beweis der Transitivität kann man die Symmetrie aRb = bRa bei (aRb∧aRc)⇒bRc nutzen.
Edit: Ich lag falsch, die Relation ist symmetrisch und transitiv.
Mich hat die Aufgabe auch verwirrt... :D
Und ich hatte in Logik sogar eine 1,0, wie 50% der Kursteilnehmer... Sagt also viel aus 😂
Ja, ich habe nicht gleich gesehen, dass die Relation symmetrisch sein muss (dies folgt aus der Eigenschaft, da a = c sein kann), und daher muss sie auch transitiv sein.
ja ist es
Deine Beispielrelation hat aber auch nicht die entsprechende Eigenschaft.
Denn es ist (a, b) und (a, a) in der Relation enthalten, aber nicht (b, a).