Irrationaler Exponent?
Hallo!
Habe mir ein Video über die Funktion
f: R+-> R+: x |-> x^x
angeschaut. Die Ableitung der Funktion hat ihre Nullstelle bei 1/e, bedeutet f hat eine Extremstelle (hier ein Minimum) bei 1/e. Dann kam ich auf die Frage:
x^(a/b) ist ja die b-te wurzel aus x^a
Das ist mir aber nur klar für rationale a,b....
Naja f(1/e)=(1/e)^(1/e) ist die e-te wurzel aus 1/e?? Macht ja irgendwie keinen Sinn. Man kann doch nur dir p-te wurzel nehmen wobei p eine Natürliche Zahl ist. Das war‘s aber noch nicht...:
Betrachte x^a
Ist a nun Natürlich oder aus der Menge der ganzen Zahlen ist kein Problem. Auch wenn a rational ist, kann man a=q/p mit ggT(q,p)=1 setzten und die Potenzgesetze anwenden.
Aber ist a nun aus R\Q also irrational lässt es sich zwar schön in den Taschenrechner eingeben aber was genau passiert da?
Wird die Zahl a aus R\Q approximiert, sodass sie ungefähr gleich a ist aber in Q liegt? Oder wie?
Danke und LG
Max
2 Antworten
mein kleiner Beitrag
0.543345 gehört zu Q.
Trotzdem ist
x hoch 0.543345 gleich
1 000 000 Wurzel aus
x hoch 543345...........schon etwas besonderes ,so scheint mir
beispiel :
da kann ich doch deinen Satz :::
::: Wird die Zahl a aus "rein" Q approximiert, sodass sie ungefähr gleich a ist aber in Q liegt? Oder wie? :::
auch anwenden .
Wie immer man es dreht, schwer zu glauben ( ich weiß aber zuwenig dazu) , dass dort nicht auch approximiert wird
genau wie bei x^(wurz2)
(brav ist der imaginäre Teil für x > 0 immer Null)
und die Fkt sieht auch so aus, als wäre sie komplett stetig ( also : all inclusive ! reelle Zahlen satt ! )
und 2 hoch wurzel 2 hat sogar einen eigenen kleinen Namen :
Gelfond-Schneider Konstante
Mithilfe des Satzes von Gelfond-Schneider konnte zum ersten Mal eine umfangreiche Klasse von transzendenten Zahlen erzeugt werden. Er wurde zuerst 1934 von dem russischen Mathematiker Alexander Gelfond und unabhängig davon ein Jahr später von Theodor Schneider bewiesen. Der Satz beantwortet Hilberts siebtes Problem.
https://1leonkadende.blogspot.com/2018/02/gelfond-schneider-konstante-wikipedia.html
Und by the way : : deine Frage tangiert Hilberts siebtes Problem (nicht siebENtes ?? ) ......auch ne Leistung.
Was eine Potenz mit irrationalem Exponenten ergibt, lässt sich schön über den Zusammenhang a^b = e^(b*ln a) bestimmen. Da ist ein irrationales b kein Sonderfall mehr (wenn man die e-Funktion z.B. über ihre Potenzreihe oder über das Verhältnis zu ihrer eigenen Ableitung definiert).