Intergralrechnung mit Kurvendiskussion/Steckbriefaufgaben Hilfe!?
Hallo liebe Leute,
ich bin jetzt aus Verzweiflung hier gelandet. Ich kam eigentlich immer relativ gut zurecht, aber jetzt kommen aufgeben wo ich nicht weiter weis.
1.Eine ganzrationale Funktion 4. Grades schneidet die X-Achse bei x=4 und hat im Ursrpung einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Sie schließt mit der X-Achse im 1. Quadranten eine Fläche von 6,4 F.E. ein. Wie lautet die Funktion ?
2.Eine achsensymmetrische Parabell verläuft durch A(0/0) und B(1/1). Eine andere achsensymmetrische Parabell geht durch C(1/2) und D(4/0). Berechne die Fläche, die von den beiden Parabelln so wie den Strecken BC und AD begrenzt wird.
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir evtl. sagen könntet wie ich an die Aufgaben rangehen soll. Wo ich das nachlesen kann oder welche Themen das genau sind. Ich suche seit einer Stunde aber kann kaum was finden, hab hier bisschen was versucht, aber kriege es nicht hin. Danke!
mfG Patrick :-)
2 Antworten
1. Aufgabe
ganzrationale Funktion 4. Grades: f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
schneidet die x-Achse bei x=4 : f(4)=0
Sattelpunkt im Ursprung: f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)=0
Schliesst ... Fläche ein: da du weisst, dass die Funktion die x-Achse bei x=0 und x=4 schneidet, nehme ich mal an, dass dieses Feld gemeint ist, also:
integral(f(x), von x=0 bis x=4) = 6.4
-> so hast du fünf Gleichungen und fünf Unbekannte, kannst du also auflösen.
Kleiner Tipp: aus f(0)=0, f'(0)=0 und f''(0)=0 kannst du entnehmen, dass c, d, und e = 0 sein müssen, dann kannst du deine Funktion etwas vereinfachen...
2. Aufgabe
1. Weg zu den Parabeln
Parabel: y=a*x^2+b*x+c
Achsensymetrisch: f(x)=f(-x) -> y=a*x^2+c
1. Parabel: y(0)=0 und y(1)=1 -> zwei Gleichungen, zwei Unbekannte
2. Parabel dasselbe
2. Weg:
Parabel: y=a*(x-x0)^2+y0, wobei Scheitelpunkt=(x0, y0)
-> Parbel 1: y=a*(x-0)^2+0 -> y=a*x^2
-> Parabel 2: y=a*(x-0)^2+4 -> y=a*x^2+4
Einsetzen des 2. Punktes
-> 1. Parabel: y(1)=1 -> eine Gleichung, eine Unbekannte
-> 2. Parabel: y(1)=2
Nun hast du die Parabelgleichungen und muss nur noch den Integral ausrechnen, wobei Anfangs- und Endpunkt durch die "Begrenzung" gegeben sind (Anfang = 0, Ende = 1).
Hinweis: Integral von (obere Funktion - untere Funktion) = Fläche dazwischen
Aufgabe 1.)
f(x) = a * x ^ 4 + b * x ^ 3 + c * x ^ 2 + d * x + f
f´(x) = 4 * a * x ^ 3 + 3 * b * x ^ 2 + 2 * c * x + d
f´´(x) = 12 * a * x ^ 2 + 6 * b * x + 2 * c
Was wir wissen -->
f(4) = 0
f(0) = 0
f´(0) = 0
f´´(0) = 0
Da f(0) = 0 ist, deshalb ist der Parameter f = 0
Da f´(0) = 0 ist, deshalb ist der Parameter d = 0
Da f´´(0) = 0 ist, deshalb ist der Parameter c = 0
Daraus ergibt sich -->
f(x) = a * x ^ 4 + b * x ^ 3
∫ (a * x ^ 4 + b * x ^ 3) * dx = (a / 5) * x ^ 5 + (b / 4) * x ^ 4
Integralgrenzen von 0 bis 4
(a / 5) * x ^ 5 + (b / 4) * x ^ 4 ergibt mit x =0 den Wert Null, braucht also nicht mehr berücksichtigt werden.
a * 4 ^ 4 + b * 4 ^ 3 = 0
(a / 5) * 4 ^ 5 + (b / 4) * 4 ^ 4 = 6.4
Wenn man dieses Gleichungssystem auflöst, dann erhält man -->
a = -0.125 und b = 0.5
f(x) = -0.125 * x ^ 4 + 0.5 * x ^ 3