Gesucht ist die einfachste ganzrationale Funktion, die in P(3|6) eine Tangente und in W(1|0) einen Wendepunkt hat, könnt ihr mir einen KURZEN Ansatz geben?
Ich weiß grundsätzlich, dass es eine Steckbriefaufgabe ist, aber noch verwirrt das "einfachste ganzrationale Funktion", das wäre ja f(x)=x oder?!?!
5 Antworten
"einfachste ganzrationale Funktion", das wäre ja f(x)=x oder?
Das stimmt, aber diese Funktion scheitert an der Forderung nach einem Wendepunkt. Um einen Wendepunkt zu erhalten,m brauchst du mindestens eine Funktion 3. Grades.
Die einfachste Form wäre:
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx
Der Einfachheit halber lasse ich schon mal d weg.
Wir haben also 3 Unbekannte, a, b und c und 3 Bedingungen, die zu erfüllen sind:
f(3) = 6
f(1) = 0
f'(3) = ...so da kommt eine Frage auf. Jede Funktion hat an jeder Stelle eine Tangente. Ohne genauere Angabe, welche Eigenschaft diese Tangente haben soll, ist die Angabe völlig inhaltsleer. Die vernachlässigen wir also.
Weiter ist gegeben:
f''(1) = 0
Mit diesen Angaben könnte man die Funktion bestimmen.
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
wir kommen also auf ein Gleichungssystem:
27a + 9b + 3c = 6
a + b + c = 0
6a + 2b = 0
Das wir jetzt lösen.
Ergebnis: die einfachste Funktion, die die Bedingungen erfüllt lautet:
f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x
Und so sieht dann die Funktion aus:
Es geht um die Kombination: Die einfachste, Funktion, die den Bedingungen entspricht.
Du findest ja beliebig viele Funktionen, höheren Grades, die Deinen Kriterien ensprechen. Du sollst mit einer möglichst einfachen Funktion arbeiten.
Hallo,
da steht garantiert, daß es sich um eine waagerechte Tangente handelt, oder?
Ansonsten ist die Aufgabe nicht eindeutig lösbar.
Wendepunkte treten bei Polynomfunktionen ab Grad 3 auf. Um eine solche Funktion zu bestimmen, brauchst Du vier Angaben, die voneinander unabhängig sind.
Das wären die beiden Punkte, die Wendestelle und - falls es sich um eine waagerechte Tangente handelt, ein Wert für die erste Ableitung bei x=3.
Wenn es sich nur um irgendeine Tangente handeln sollte, fehlt Dir eine Information und die Aufgabe hat keine eindeutige Lösung.
Herzliche Grüße,
Willy
Tannibi hat dir ja schon gesagt, was das eine Funktion sein muss, allerdings kannst du die aus deinen Angaben nicht aufstellen. Denn, "die in P(3|6) eine Tangente hat". Mit dieser Angabe kannst du gar nichts anfangen.
Die hat keinen WP. Die einfachste mit WP ist 3. Grades.