Integralrechnung Intervalladditivität?
Wieso genau kann man die Intervalladditivität nicht immer nutzen?
2 Antworten
Das Integral gibt die Flächenbilanz an: Es gibt Flächen, die oberhalb der x-Achse liegen (diese werden positiv gerechnet) und Flächen, die unterhalb der x-Achse liegen (negativ). Und das Integral gibt das alles addiert an. D.h. wenn genauso viel unter der x-Achse wie darüber liegt, liefert das Integral den Wert 0.
Schauen wir uns mal deine Funktion an. Die Stammfunktion G(x) ist:
G(x)= 1/4 x^4 - 1/2 x^2 (+C)
Im Intervall [-1;0] ist die Fläche, die g(x) mit der x-Achse einschließt:
1/4 *0^4 - 1/2 * 0^2 - 1/4*(-1)^4 + 1/2*(-1)^2 = 0 - 1/4 + 1/2 = 1/4
Im Intervall [0;1]:
1/4*1^4 - 1/2 * 1^2 = -1/4
Hättest du jetzt von -1 bis 1 integriert, also die beiden Intervalle zusammengezogen, dann hättest du jetzt als Ergebnis 0 (prüfe es gerne nach :). In Wirklichkeit hast du aber nur den gleichen Teil unterhalb der x-Achse wie darüber.
Hoffe, ich konnte helfen.
Viele Grüße
Hallo Chiara,
das liegt daran, dass man Flächen immer als positiv betrachtet, ob sie nun unterhalb oder oberhalb der x-Achse liegen. Aber für Integrale spielt das Vorzeichen schon eine Rolle: Wenn die Funktion unterhalb der x-Achse verläuft, dann ist ihr Integral negativ.
Nun, wenn du die Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnen möchtest, dann solltest du das Integrationsintervall bei den Nullstellen der Funktion zerschneiden und bei jedem Teilintervall schauen, ob dort die Funktion oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft. Bei Teilintervallen unterhalb der x-Achse solltest du dann das Vorzeichen des Integrals umdrehen, damit der Beitrag positiv wird statt negativ, wie es sich für eine Fläche gehört.
Die Vielfachheit der Nullstellen spielt hier nur insofern eine Rolle, dass sie hilft den Verlauf des Funktionsgraphen besser zu verstehen, sodass man leichter herausfinden kann, wo er oberhalb der x-Achse verläuft und wo unterhalb.
Alles klar...wie immer sehr hilfreich ;)
Das bedeutet, dass man die Intervalladd. zwar nutzen kann, wenn man eine Funktion mit 3 Nullstellen hat, von denen eine eine doppelte ist, aber man kann die intervalladd. nciht anwenden, wenn drei Nullstellen in dem angegebenen Intervall gegeben sind und keine davon eine doppelte nullstelle ist und demnach ein Teil unterhalb und einer oberhalb der x-Achse liegt?