Ich habe eine Frage zur Mathematik genau genommen zur Integralrechnung?
Also das ist ja alles echt interessant und ich verstehe das auch soweit.
Meine Frage ist nur, wofür genau die Integralrechnung verwendet wird? Übertragen auf das Leben.
Irgendwer wird sich schon was dabei gedacht haben, für mich ist der Sinn nicht erkenntlich
8 Antworten
Wenn man änderungsraten gegeben hat, braucht man Integrale um die Gesamtänderung zu bestimmen.
In der Physik werden in viele Gebiete Integrale gebraucht (ein einfaches Beispiel wäre z.b der zurückgelegte weg eines Objektes, wenn die Startgeschwindigkeit 0 ist und die Beschleunigung bekannt ist)
Außerdem sind Integrale bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung wichtig, da manche Zufallsvariablen stetig verteilt sind (z.b die Normal-Verteilung), weswegen man die Wahrscheinlichkeit für Ereignisse dann mit Integralen bestimmt
Integrale beschreiben den Zuwachs, der durch eine Funktion erzeugt wird. "Gedacht" haben sich Newton und Leibniz, die "Erfinder" der formalen Differential- und Integralrechnung (es gab vorher schon gute Ansätze, aber erst die beiden haben das richtig zusammengeführt) eben die Beschreibung des Änderungsverhaltens (Ableitung, Differential) und des Zuwachsverhaltens (Integral) von Funktionen. Diese Problematik tritt in vielen verschiedenen Bereichen der Physik auf, zum Beispiel bei der geradlinigen gleichmäßigen oder beschleunigten Bewegung, aber auch bei der Berechnung von Volumen von unregelmäßig geformten Körpern (zum Beispiel von Fässern).
Damit rechnest du die Fläche unter dem Graphen aus.
Angenommen der Graph beschreibt die Regenmenge. Und du möchtest nun wissen, wieviel Regen von März (a) bis September (b) gefallen ist. Dann rechnest du das Integral von a nach b über diese Funktion.
Du hast eine Funktion in ein x/y Diagramm eingezeichnet. x und y haben Einheiten, beispielsweise s (Sekunde) und m/s (Meter pro Sekunde). Dann ist die Einheit der Fläche s • m/s = m (Meter).
Wenn du integrierst bekommst du die Fläche unter der Kurve in der Einheit von x • y.
Zeit • Geschwindigkeit = Strecke. Wenn die Geschwindigkeit über der Zeit schwankt, kannst du die Fläche exakt ausrechnen und damit die Strecke.
Bei konstanter Geschwindigkeit ist das einfach.
Zum Einen ist Mathematik Selbstzweck - sie wird weiterentwickelt, um die Mathematik besser zu verstehen. Und währenddessen bildet sich ein Werkzeugkasten, um immer kompliziertere mathematische Probleme zu lösen.
Jedoch speziell die Differentialrechnung wird in der Physik und der Technik andauernd gebraucht, um zB Verläufe und Schwingungen zu beschreiben.
Beispiele für einfache Integrale:
- Das Wasser eines Stausees wird benutzt, um eine Turbine anzutreiben, während dabei der Stausee leer läuft. Je tiefer der Wasserspiegel sinkt, desto geringer ist die Fallhöhe, wobei die Leistung sinkt. Wieviel Energie kann dabei insgesamt geliefert werden ?
- Ein Raum wird durch eine Heizung mit einem Heizkörper, der T_Max = 30°C warm ist, beheizt. Am Anfang ist er T = 10°C warm, und wird jede Minute um ((T_Max - T) / 100) °C wärmer. Wie lange dauert es, bis die Temperatur 20°C erreicht ? Also auch hier beachte man: der Aufheizprozeß ist umso langsamer, je wärmer der Raum wird.
Wer solche Fragen allein mit den Grundrechenarten zu lösen versucht, schafft dies nur, indem er dabei Teile der Integralrechnung neu erfindet.
Beim Ballspielen führen wir solche Rechnungen übrigens ganz ohne formale mathematische Kenntnisse durch ;)