In einen 5x5 Quadrat soll man eine Überdeckung machen mit genau 8 kleineren Quadraten, wie groß müssen die kleinen Quadrate sein?
In einen 5x5 Quadrat soll man eine Überdeckung machen mit genau 8 kleineren Quadraten, wie groß müssen die kleinen Quadrate sein?
7 Antworten
Wie genau ist die Überdeckung gemeint? Weil normalerweise bedeutet das, dass du die 8 Quadrate irgendwie anordnest, sodass das 5x5 Quadrat darin enthalten ist (wobei auch ein Rand überstehen dürfte).
Oder ist es so gemeint, dass du einfach ein großes Quadrat in 8 (gleich große?) Quadrate zerlegst?
Wenn sie nicht gleich groß sein müssen, würde ich in einer Ecke ein 3,75x3,75 Quadrat machen, an 2 Seiten 3 1,25x1,25 Quadrate anhängen und in die letzte Lücke auch noch ein 1,25x1,25 Quadrat (zeichne dir das am besten auf um das nachzuvollziehen).
Wenn das kein Tippfehler ist und die 8 eine 9 sein soll,
geht es nicht.
Warum nicht? Die kleinen Quadrate müssen ja nicht alle gleich groß sein ;-)
Man sollte für einige Fragen aus dem Schulunterricht den Preis "Lehrer weiss auch nix" vergeben. Diese Aufgabe würde ich dafür nominieren. Da steht weder, ob die Quadrate in das 5x5 Raster passen müssen, noch was "Überdeckung" heissen soll. Man kann auch acht 4x4 Quadrate nehmen und die Fläche damit vollständig überdecken.
was "Überdeckung" heissen soll
... ist in der Lagerungsgeometrie klar definiert: Jeder Punkt muss von mindestens einem kleineren Quadrat bedeckt sein; die kleineren Quadrate müssen kein Raster einhalten und dürfen beliebig gedreht werden.
Deine 4x4-Lösung ist dabei völlig in Ordnung — aber ich nehme lieber acht 100x100-Quadrate, weil ich Grobmotoriker bin :-)
Interessant wird die Frage erst, wenn die kleinsten Quadrate gesucht sind. Meine beste Lösung liegt bei (5√2-1)/3≅2,02. Dabei liegen 4 Quadrate in den Ecken des großen, und die anderen 4 decken diagonal (mit einer Ecke im Zentrum) die Arme des verbliebenen Kreuzes ab.
Ich vermute, es gibt noch bessere (asymmetrische) Lösungen.
Kleinere Quadrate haben die Fläche 4x4=16, 3x3=9, 2x2=4, 1x1=1. Es muss also gelten
1a + 4b + 9c + 16d = 25
a+b+c+d = 8
d muss 0 sein, ansonsten gibt es keine Lösung.
1a + 4b + 9c = 25
a+b+c = 8
Daraus folgt
3b+8c = 17
Hat als ganzzahlige Lösung nur b=3 und c=1. Die Lösung lautet also
1 * 3x3 (c)
3 * 2x2 (b)
4 * 1x1 (a)
Stimmt schon, die Aufgabenstellung ist halt wieder mal unterirdisch. Weil da "5x5" Quadrat steht, nehme ich an, dass es sich um ganze Zahlen handeln muss.
Die Probe ergibt mehrere Möglichkeiten, diese Quadrate auf das 5x5-Quadrat zu legen.
1 3,75x3,75 Quadrat und
7 1,25x1,25 Qudrate
Das 3,75x3,75 Quadrat hat eine Fläche von 14,0625 und wird in eine Ecke des großen Quadrats gelegt.
Die ander 7 1,25x1,25 Qudrate werden an den Seiten entlang gelegt und haben jeweils eine Fläche von 1,5625.
Die Seitenlängen des zusammen-gestückelten Quadrats:
3,75 + 1,25 entsprechen dem Original-Quadrat :-)
Rechenweg: 4a = 5 => a = 1,25
b = 5-a => b = 3,75
Gut!
Ist aber nicht die einzige Lösung!
Meine Lösung (s. meine Antwort) passt ebenfalls ;-)