Ich kenne die Formel für den Oberflächeninhalt Ao und das Volumen V des Kegels. verstehe ich die Aufgaben nicht, könnte mir jemand dabei helfen?
Aufgabe: Der Achsenschnitt eines Kegels ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a=14cm.
Stelle Terme aus, mit denen sich das Volumen und der Oberflächeninhalt in dem angegebenen Sonderfall bestimmen lassen.
3 Antworten
Die Seitenlänge a des gleichseitigen Dreiecks entspricht der sogenannten Mantellinie s des Kegels.
Außerdem entspricht die Hälfte der Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks dem Radius r des Kegels.
Nun nimmst du erst mal die Formeln für den Kegel, die entnimmst du einer Formelsammlung oder, falls sie da nicht drin sein sollten, leitest du sie selber aus den Formeln ab, die in der Formelsammlung zu finden sind :
V = (1 / 3) * pi * √(s ^ 2 - r ^ 2) * r ^ 2
O = pi * r ^ 2 + pi * r * s
Nun wissen wir ja folgendes, wie oben erläutert :
s = a
r = a / 2
Das setzen wir ein :
V = (1 / 3) * pi * √(a ^ 2 - (a / 2) ^ 2) * (a / 2) ^ 2
das kann man noch ein bisschen vereinfachen :
V = (1 / 3) * pi * √(a ^ 2 - (1 / 4) * a ^ 2) * (1 / 4) * a ^ 2
V = (1 / 12) * pi * √((4 / 4) * a ^ 2 - (1 / 4) * a ^ 2) * a ^ 2
V = (1 / 12) * pi * √((3 / 4) * a ^ 2) * a ^ 2
V = (1 / 12) * pi * √(3 / 4) * √(a ^ 2) * a ^ 2
V = (1 / 12) * pi * √(3) / √(4) * a * a ^ 2
V = (1 / 12) * pi * √(3) / 2 * a ^ 3
V = (√(3) / 24) * pi * a ^ 3
Nun zur Oberflächenformel :
O = pi * r ^ 2 + pi * r * s
O = pi * (a / 2) ^ 2 + pi * (a / 2) * a
O = (1 / 4) * pi * a ^ 2 + (2 / 4) * pi * a ^ 2
O = (3 / 4) * pi * a ^ 2
Nun hast du die Formeln für V und O in Abhängigkeit von a
Was die Buchstaben bedeuten :
a = Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks
r = Radius des Kegels
s = Mantellinie des Kegels
O = Oberfläche des Kegels
V = Volumen des Kegels
Kannst du dir den Achsenschnitt vorstellen? Einen Schnitt durch den Kegel, der die Achse enthält? Wenn du z. B. den Kegel mit seiner Grundfläche auf den Tisch stellst und ihn bei der Spitze anfangend senkrecht durchschneidest und dir dann die Schnittfläche betrachtest?
Ok.
Wie lauten die Formeln für Oberflächeninhalt und Volumen?
Welche der Größen in diesen Formeln tauchen an welchen Stellen im Schnittdreieck auf? (zunächst mal für den allgemeinen Kegel - ist vermutlich übersichtlicher, als gleich in den konkreten Fall zu gehen)
O=PI*r²+PI*r*s V=1/3*PI*r²*h
Ich möchte jetzt, dass du mir die Aufgabe löst. Ich verstehe nur die Aufgabenstellung nicht, und ich weiß, dass du mir helfen kannst, also tu es bitte :(( Nur die Aufgabe lösen, vielleicht komme ich ja selbst drauf.
Der Achsenschnitt eines geraden Kreiskegels ist ein gleichschenkliges Dreieck. (Das gleichseitige Dreieck - wie hier in der Aufgabenstellung - ist ein Spezialfall davon.)
Nennen wir für die folgenden Formeln die Länge der Schenkel des Dreiecks "a" und die Länge der Basis des Dreiecks "b".
Die Basis des Dreiecks ist der Durchmesser der (kreisförmigen) Grundfläche (oder genauer einer der Durchmesser von unendlich vielen). Damit ist die halbe Basis des Dreiecks der Radius.
r = b/2
Die Schenkel des Dreiecks sind Mantellinien des Kegels.
s = a
Die Höhe auf die Basis des Dreiecks ist auch die Höhe des Kegels. Beide können wir also mit demselben Buchstaben (h) bezeichnen, ohne durcheinander zu kommen.
Die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks teilt das Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Damit können wir den Satz des Pythagoras anwenden:
h² + r² = a²
Damit kennen wir alle variablen Größen in den Formeln - das sind r, s und h.
Für die konkrete Aufgabe müssen wir jetzt noch berücksichtigen, dass a = b = 14 cm.
Zahlen einsetzen, ausrechnen, fertig.
Vielleicht hilft es dir, eine Skizze zu machen.
Für die Oberfläche gilt ja: O=pi*d²/4+pi*d/2*s
d ist der Durchmesser der Grundfläche, s die Seitenlänge des Kegels.
In der Angabe steht, dass beide Größen eben a sind, also folgt:
O=pi*a²/4+pi*a/2*a=pi*a²*(1/4+1/2)=3/4*pi*a²
So gehst du auch bei der Oberflächenberechnung vor.
KLAR! Ich brauch aber hilfe bei der Aufgabe