Hund einschläfern wenn er die Katze tötet, würdet ihr es tun?

Auf keinen Fall.

Außerdem traut sich nicht automatisch jeder Hund zu, mit einer Katze zu kämpfen. Die meisten Hunde gehen Katzen aus dem Weg oder verfolgen sie nur ein Stück. Katzen sind wehrhaft und zielen immer auf die Augen. Ein Hund muß den erforderlichen Instinkt und Raubzeugschärfe besitzen um eine Katze zu töten. Meistens sind es Jagdhunde u.ä. Diese Hunde dürfen auch z.B. im Fuchsbau nicht lange fackeln, sondern der erste Biß muß sitzen. Dafür wurden sie gezüchtet.

Man darf es ihnen nicht übel nehmen, wenn der erste Biß dann auch über der Erde und bei einer Katze sitzt.

Erstmal: Weche Katze, die die er schon immer kennt und die bei ihm wohnt oder irgendeine?
Bei irgendeiner kann es ein Unfall sein, Überschwang, Jagdtrieb und ähnliches Verhalten wo der Hund nicht für kann. Da hat der Mensch seine Augen drauf zu haben damit eben nichts passiert.

Dann: Warum sollte der Hund das tun wenn es die Katze im eigenen Haushalt ist, wie sind die Umstände gewesen?
Manche Katzen machen sich einen Spaß raus den "eigenen" Hunden auf der Nase rum zu tanzen, macht unser Kater auch: er schlägt nur so ohne Grund nach dem Hund, meistens ohne sie zu verletzen aber manchmal tut er ihr auch weh dabei. Da muss sich der Hund nur einmal im Schreck umdrehen und nach dem Kater schnappen, dann wars das mit etwas Pech.

Nicht zu vergessen: Man kann Hunde erziehen, ihnen Sachen abtrainieren. Den Hund gleich umzubringen ist in meinen Augen deutlich überzogen.

Erstmal nicht.
Die zentrale Frage ist, wie es dazu kommen konnte.

Ein Hund, den ich gut kenne, hat auch schon mal eine Katze zerpflückt, die in "seinem" Garten war. Und er wird es wieder tun. Andersherum leben unsere Katzen auch gefährlich, wenn sie unbedingt in Nachbars Garten stromern. Der züchtet Jagdhunde.

Nein, mein Hund ist mein Baby. Ich würde einfach von vorneherein keinen Hund mit einer Katze zusammenhalten. Unfälle passieren leider - aber ich finde nicht, dass man Hunde für ihre Natur bestrafen sollte. Katzen schläfert man ja auch nicht ein, wenn sie eine Maus oder einen Vogel als „Geschenk“ Nachhause bringen.

Geht die Vermenschlichung von Tieren jetzt schon soweit dass wir die Todesstrafe einführen ?

Das ist doch völliger Quatsch. Hunde und Katzen sind sich nun mal von Natur aus nicht "grün". Sie können es lernen miteinander zu leben und Freunde zu werden. Trotzdem wird jede fremde Katze gejagt.

Abgesehen davon wirst Du keinen Tierarzt finden der da mitmacht.