Höhenmesser Mathe?
Der Höhenmesser zeigt gemäß der Funktion H(t)= 0,6thoch3-9thoch2+400 die Flughöhe eines Heißluftballons während einer 15-minütigen Flugphase an (t in min, h in m) 0ist kleiner/gleich t und t ist kleiner/gleich 15
c) Zu welchem Zeitpunkt verringert sich die Flughöhe am stärksten?
Wann steigt sie am stärksten an?
Wie rechne ich das aus?
3 Antworten
Die Funktion lautet
Um die Minima und Maxima zu errechnen,müssen wir die 1. Ableitung bilden und = 0 setzen:
Das müssen wir nun für t lösen. Dazu dividieren wir durch t:
Wir haben also bei t = 10 min ein Maximum. Nun müssen wir noch untersuchen, ob es ein Minimum oder ein Maximum ist. Dazu bilden wir die zweite Ableitung:
Da 18 > 0 handelt es sich um ein Maximum.
Nun rechnen wir spasseshalber auch noch die Steigrate aus:
Ergebnis: Bei t = 10 min hat der Ballon die höchste Steigrate mit 100 m / min
ich habe ja meine Antwort erst heute abgeschickt, weil ich noch stark am überlegen war. Ich komme auf einen anderen Ansatz und zu anderen Werten, die m.E aber auch durch den Graphen von f(x) gestützt werden.......Der zeigt nämlich ein fortwährendes Sinken ab t = 0 an , erst ab t = 10 steigt er wieder. Und bei t = 5 habe ich die stärkste Sinkrate identifiziert.
Du hast Recht. H(t) gibt ja die Höhe an und gefragt ist nach der Steigrate. Die wäre ja schon dH/dt, also die erste Ableitung.
Damit wäre die Funktion für die Steigrate (SR):
SR(t) = 1,8 t^2 - 18 t
Und die müssen wir nochmal ableiten, um Extrema zu finden:
SR'(t) = 3,6 t - 18 = 0
t = 5
SR(5) = -45 m/min
Jetzt lach mich aber bitte nicht aus...soeben habe ich zur Sicherheit erstmals entdeckt, dass man sich die ganze Rechnerei auf Papier und mit Taschenrechner sparen kann, da es auch eine komplette Kurvendiskussion online gibt:
https://www.mathepower.com/funktionen.php
Da habe ich dann vorsichtshalber die Funktion für die Sinkrate eingegeben...und siehe da, der kriegt das selbe raus wie ich. ;-)
Du musst das Maximum/Minimum der Steigung bestimmen. Dafür musst du ableiten usw.
Ich nenne t x .
0.6x³ - 9x² + 400
Was man braucht ist nicht das Maximum der Flughöhe , sondern die Maxima und Minima der momentanen Flughöhenänderung >>>> 1te Ableitung.
die ist
1.8x² - 18x
abzuleiten und
gleich Null zu setzen
3.6x - 18 = 0
x = 18/3.6 = 5
wegen y'' = 3.6 ist das ein minimum
Das heißt , dass bei x = 5
die Flughöhenänderung am geringsten ist.
die Höhenänderung und f'(x) als graph
weil es kein Maximum gibt aufgrund der Ableitung der Ableitung , braucht man das globale Maximum im Def - Bereich . und dieses liegt bei 15 !
anhand des Graphen kann man auch erkennen , dass der Ballon nur sinkt , bis er ab x = 10 wieder steigt.
Korrektur...da ist mir ein ziemlich blöder Fehler unterlaufen.
f'' > 0 bedeutet ja kein Maximum, sondern ein Minimum.
Da aber keine weiteren Extrema zwisch t = 0 und t = 15 minliegen, muss der Maximalwert am Rand auftreten.
Also untersuchen wir die Randwerte:
f(0) = 0 - 0 + 400 = 400 m/min
f(15) = 0,6 * 15^3 - 9 * 15^2 + 400 = 2025 - 2025 + 400 = 400 m/min
Ergebnis: die maximale Steigrate beträgt bei 0 und 15 min jeweils 400 m/min. Daziwschen sinkt sie bis auf 100 m/min ab.