Hoch- und Tiefpunkte bestimmen Aufgabe?

Hey, wir haben gerade das Thema Differenzialrechnungen und sollen zu einigen Gleichungen Hoch- und Tiefpunkte bestimmen. Bei 4 von diesen Gleichungen hatte ich Probleme. Und zwar komme ich immer bis zu dem Schritt, dass ich die F'(x) nullsetzte und entsprechend ausklammere. Was ich weiter tun soll, weiß ich nicht. Die Substitution kann ich auch nicht anwenden, da einige der Exponenten ungerade Zahlen sind.

b) $F\left(x\right)=\ -3x^{4\ }-\ 8x^3+18x^{2\ }+1\$ e)

$F\left(x\right)0,25x^4\ +4x^3+18x^2+5$ g) $f\left(x\right)=0,6^5+0,75x^4-2x^3$

f) $f\left(x\right)=\ -x^4+4x^3+1$ Hier habe ich den Punkt (0/1) herausbekommen. Wenn ich x (also 0) in die 2.Ableitung einsetze kommt 0 raus. Ist es dann ein Hoch- oder Tiefpunkt ?

Danke im Voraus

Answer 1

[mauphy]

Hi,

für b) bspw. kannst du das so machen:

Erstmal ableiten und ein x ausklammern. Dann kommt das im Bild raus. Davon willst du die Nullstellen. Damit die Ableitung 0 ist, muss entweder der Ausdruck in der Klammer 0 sein, oder x=0 sein. D.h. du hast auf jeden Fall eine Nullstelle in 0. Wenn du den Ausdruck in der Klammer =0 setzt, kommst du auf eine normale quadratische Gleichung, die du bspw. mit der pq-Formel lösen kannst. Dann hast du die 3 Nullstellen der Ableitung. Das heißt du weißt wo f Extrema annimmt. Ob nun Hoch- oder Tiefpunkt kannst du anhand der zweiten Ableitung entscheiden.

Comments

[DieChemikerin]

Ich würde die -12 gleich noch mit ausklammern, da 24 und 36 Vielfache davon sind und sich das später wesentlich einfacher rechnen lässt.

Answer 2

[DieChemikerin]

Hi :)

Ich zeige es dir mal an einer Funktion, den Rest probierst du selbst :)

f(x)= −3x^4 − 8x^3 +18x^2 +1 

f'(x) = -12x^3 - 24x^2 + 36x

Nun kannst du ausklammern:

f'(x) = -12x(x^2 + 2x - 3)

Nun, f'(x) ist null, wenn einer der beiden Faktoren null ist. Der erste Faktor ist Null, wenn x1 = 0.

Beim zweiten Faktor musst du diesen mit Null gleichsetzen und das x bestimmen:

x^2 + 2x - 3 = 0

In die pq-Formel einsetzen ergibt x2/3 = -1 +- 2

Also ist x1 = 0, x2 = -3 und x3 = 1.

Diese Werte setzt du in f(x) ein und erhältst deine zugehörigen y-Werte.

Um zu bestimmen, ob die Punkte Hoch- oder Tiefpunkte sind, setzt du die x-Werte in die zweite Ableitung ein. Ist das Ergebnis größer Null, hast du einen Tiefpunkt. Ist das Ergebnis kleiner Null, hast du einen Hochpunkt.

So verfährst du auch bei den anderen Funktionen.

Zur Funktion f: Deine Lösungen sind richtig. Wenn die zweite Ableitung Null ist, hast du in der Regel einen Sattelpunkt, also eine Art Plateau.

LG

Woher ich das weiß: Hobby

Comments

[TomRichter]

> in der Regel einen Sattelpunkt

Würde ich eher so formulieren:
... musst Du näher untersuchen, ob dies ein Extremwert oder ein Sattelpunkt ist. Schüler neigen dazu, ein "in der Regel" überzuinterpretieren.

Answer 3

[Rhenane]

Nach dem Ableiten hast Du in allen Summanden des Terms das x drin, d. h. Du kannst x ausklammern; bei f) und g) kannst Du nach dem Ableiten x² ausklammern. Somit hast Du in der Klammer dann immer quadratische Terme (bei f) bleibt ein "einfaches" x in der Klammer übrig), die Du mit der pq- oder abc-Formel lösen kannst.

Answer 4

[FelixFoxx]

f(x)=-x^4+4x³+1

f'(x)=-4x³+12x²=-4x²(x-3)

f"(x)=-12x²+24x=-12x(x-2)

f'''(x)=-24x+24

Bei S(0|1) befindet sich ein Sattelpunkt, das ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Bei H(3|28) befindet sich ein Hochpunkt.