Hilfe bei Matheaufgabe (Kreisausschnitt)?
Hallo Leute, ich brauche Hilfe bei einer Matheaufgabe: ''Berechne die fehlenden Größen für einen Kreisausschnitt.'' Also gegeben sind der Kreisbogen: 12cm und der Flächeninhalt: 40cm². Ich muss den Radius und Alpha berechnen. Hoffe, dass mir jemand helfen kann. Ich hab' die Aufgabe schon alleine probiert, bin aber überhaupt nicht weitergekommen. :/ LG Hiavatha8
3 Antworten
Wenn du schon angefangen hast, gehe ich mal davon aus, dass du dir die Formeln bereits herausgesucht hast.
Bogen b = π r α / 180
Fläche des Kreisausschnitts A = π r² α / 360
Bekannt sind dabei b = 12 cm und A = 40 cm²
Wenn man sich die Formeln genau anguckt, sieht man, dass die zweite entsteht, wenn man die rechte Seite der ersten mit r/2 malnimmt, sodass man auch schreiben kann: A = b * r / 2
So geschrieben, ist nur noch eine Größe unbekannt in dieser Gleichung: r
Und zwar ist: b r / 2 = A | *2
b r = 2 A | /b
r = 2 A / b
Zahlen einsetzen: r = 2 * 40 / 12 [cm]
Mit einem bekannten r können wir aus beiden obigen Gleichungen α leicht ausrechnen. Ich nehme mal die erste, die ist etwas einfacher.
π r α / 180 = b | *180
π r α = 180 * b | /πr
α = 180 * b/ (π * r)
Zahlen einsetzen, r können wir von eben nehmen:
α = 180 * 12/ (π * r) [°]
Also die Fläche eines Kreises berechnet sich ja wie folgt:
A = pi*r²
Der Umfang zu:
U = 2*pi*r
Du weißt, dass 12cm eine Fläche von 40cm² aufspannen.
U = 2pi*r II *1/2
U/2 = pi*r II *r
U*r/2 = pi*r² = A
Wir wissen 12cm ist k*U, mit k als Proportionalitätsfaktor, und damit:
U*r/2 = pi*r² = A II *k
U*k*r/2 = pi*r²*k = A*k
Damit ist A*k = a, die Fläche des Kreisausschnittes und U*k = u, die Länge des Kreisbogens:
u*r/2 = a II *2/u
r = 2*a/u
Damit erhalten wir für den Radius:
r = 2*40cm/12 = ca. 6.67 cm
Zum überprüfen setzen wir einfach mal ein:
U = 2*pi*6.67cm = 41.91 cm
A = pi*6.67^2 *cm² = 139,76cm²
Und 12cm/U = 0.286
Und 0.286*A = 40.017cm²
Damit sollten das die gesuchten Maße sein.
r = A/b also r = 40/12 = .....
und alpha = 180 • b / (pi • r)
Wieso fehlt bei dir das *2 bei der Berechnung des Radius?
Neben meiner Rechnung möchte ich analog noch zu dieser Seite verweisen:
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/kreissektor-kreisausschnitt.html