Hilfe bei Abiaufgabe?
Hier im Bild ist die Ableitung der Schar: f(x)=sin(x)+k*x also f´(x)= cos(x)+k für die Werte k=-1 und k=1, da nur zwischen den beiden Werten für k Extremstellen vorhanden sind(f´(x)=0--> -k=cos(x)). Nun soll man noch die hinreichende Bedingung prüfen und in der Lösung steht:
Wie in der Skizze erkennbar, findet im Fall k=1 und k=-1 kein Vorzeichenwechsel statt, da dort der Cosinus die x-Achse nur berührt und nicht schneidet. Die Funktionenschar fk besitzt folglich nur für k∈(-1,1) Extremstellen.
Aber gibt es nicht eigentlich nur für -1<k<1 Extremstellen, da für k=1 und k=-1 die Steigung der Ableitung in den Nullstellen 0 ist und somit Sattelpunkte vorliegen?
Hoffe meine Frage ist halbwegs verständlich.
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Die Werte -1 < k < 1 werden durch k ∈ (-1,1) beschrieben. Die runden Klammern bedeuten, dass -1 und 1 nicht zur Menge dazu gehören, aber alle Werte dazwischen.
Für k = 1 und k = -1 sind sowohl die erste Ableitung als auch die zweite Ableitung gleich Null und die dritte Ableitung ist ungleich Null. Folglich liegen Sattelpunkte vor.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Vielen Dank! Ich hab schon vermutet dass es so ist, aber war mir unsicher, da wir diese schreibweise im unterricht nie benutzt haben.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/TBDRM/1655402433211_nmmslarge__0_666_1080_1080_f7eefb8f128db0f4b803b786d906b453.jpg?v=1655402433000)
Da die Ableitungen nie ihr Vorzeichen wechseln (es aber dennoch kritische Stellen gibt) für k = ±1, besitzen diese Funktionen
- sin(x)+x
- sin(x)–x
nur Sattelpunkte, keine Extrempunkte.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/13_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ja. Aber genau das gibt dir die Lösung ja auch an.
beschreibt die Menge des offenen Intervalls von -1 bis 1. Heißt exakt -1<k<1.