Herleitung Ableitungsregeln?
Hi, für meine Seminararbeit möchte ich unter anderem den Hintergrund der Ableitungsregeln erläutern. Dafür habe ich in einem Mathebuch eine sehr ausführliche Erklärung dazu gefunden und verstehe nun auch wie ich zum Beispiel aus f(x) = x^3 die Ableitungsfunktion f(x) = 3*x^2 herleite. Dabei findet sich in jenem Mathebuch auch eine allgemeine Herleitung für die Ableitung ganzrationaler Funktionen, die dem Schema f(x) = x^m folgen.
Die Rechnung dieser allgemeinen Herleitung wird hier so (siehe Bild) dargestellt, wobei ich einzelne Teile nicht ganz verstehe. Die Polynomdivision kann ich nachvollziehen und auch der Grund warum bei dieser das Ergebnis bis ins Unendliche geht ist mir auch ersichtlich. Allerdings verstehe ich nicht wieso dann nach „…“ gefolgert werden kann, dass diese Unendlichkeit in (x_0)^m-2 * x + (x_0)^m-1 enden sollte.
Weiterhin wird eine Grenzwertbetrachtung durchgeführt, wobei ich den Sinn hinter diesen voll und ganz nachvollziehen kann. Dabei wird aber dann jene Reihung schlussendlich zu m*(x_0)^m-1 zusammengefasst, was ich nicht ganz verstehe. So scheint es, dass die Anzahl der Reihungen von jenen Termen mit x von m abhängig ist und m beschreiben würde wie lange diese Reihung weitergehen würde. Trotzdem ist mir der genaue Zusammenhang noch nicht ganz ersichtlich
3 Antworten
Allerdings verstehe ich nicht wieso dann nach „…“ gefolgert werden kann, dass diese Unendlichkeit in (x_0)^m-2 * x + (x_0)^m-1 enden sollte.
Diese besondere Unendlichkeit spielt sich ja ausgerechnet nicht am Ende der Reihe ab, sondern eher in der Mitte da wo die Pünktchen (...) sind. Vielleicht wird das klar an den folgenden Beispielen mit konkreten Exponenten
Du siehst, das x_0^(m-1) immer das letzte Glied ist. Letzlich wird hier ein Bildungsgesetz skizziert bei dem man sich die Mitte der Reihe gut vorstellen kann.
So scheint es, dass die Anzahl der Reihungen von jenen Termen mit x von m abhängig ist und m beschreiben würde wie lange diese Reihung weitergehen würde.
Das scheint nicht nur so, sondern das ist auch so. Aber sprich nicht von der Anzahl der Reihungen, sondern von der Anzahl der Glieder der Reihe.
Der Grenzübergang x --> x_0
kann in dieser Formel ganz plump durch Gleichsetzen von x = x_0 vollzogen werden.
Dann nämlich nehmen alle Glieder den gleichen Wert an. Wir haben dann tatsächlich m-mal den geichen Summanden. Die Anzahl der Summanden braucht dann nur noch ausgezählt zu werden. Es sind genau m Summanden. Darum wird die wiederholte Addition einfach durch die Multiplikation mit dem Faktor m ersetzt.
Ja, Du hast es jetzt verstanden. Zur Korrektur muss ich nur anmerken, dass der Begriff "unendlich" in dieser Betrachtung eigentlich nicht angewandt werden darf. Hier ist nichts unendlich, höchstens beliebig, oder beliebig groß. Man hat es stets mit einem bestimmten Wert von von m zu tun und nicht mit einem unendlichen Wert.
Hallo,
allgemein lautet die Ableitung von f(x)=x^n bekanntlich n*x^(n-1).
Hergeleitet wird das aus dem Limes des Differenzenquotienten für h gegen 0.
Wenn Du zwei beliebige Punkte der Polynomfunktion nimmst, nämlich
(x|f(x)) und (x+h|f(x+h)), dann berechnet man die Steigung der Geraden, die diese beiden Punkte miteinander verbindet und die eine Sekante des Funktionsgraphen darstellt, nach der Formel m=[f(x+h)-f(x)]/[(x+h)-x], wobei der Nenner zu h zusammengefaßt werden kann.
Im Falle von f(x)=x^n bedeutet das: m=[(x+h)^n-x^n]/h.
Geht h gegen Null, näher sich die beiden Punkte unendlich nah aneinander an und verschmelzen praktisch zu einem Punkt. Aus der Sekante, die beide Punkte verband, wird nun eine Tangente, die die Steigung der Funktion genau an der Stelle
x anzeigt.
Multiplizierst Du (x+h)^n aus, bekommst Du eine Reihe von Termen, die als Faktor Potenzen von x in absteigender Potenz von x^n bis x^0 umfassen, während ein anderer Faktor jedes einzelnen Terms eine Potenz von h in aufsteigender Reihenfolge ist, von h^0 bis h^n.
Interessant sind dabei nur die beiden ersten Glieder dieser Reihe und das letzte, denn nach dem binomischen Lehrsatz lauten diese x^n+n*x^(n-1)*h+...+h^n.
In allen anderen Termen dazwischen tritt h^2 bis h^(n-1) als Faktor auf.
Im Differenzenquotient wird nun von f(x+h) im Zähler f(x) abgezogen, im konkreten Fall also von (x+h)^n x^n.
Das erste Glied des ausmultiplizierten Binoms (x+h)^n ist aber x^n. Wird von diesem x^n abgezogen, verschwindet es aus dem Zähler.
Da sämtliche anderen Summanden h als Faktor besitzen, kann h aus ihnen ausgeklammert werden. Du bekommst h*(nx^(n-1)+(n über 2)*h*x^(n-2)+...+h^(n-1).
Das ausgeklammerte h kannst Du nun gegen das h im Nenner kürzen und es bleibt nur der Zähler übrig, der mit n*x^(n-1) beginnt und mit h^(n-1) aufhört.
Alles andere dazwischen hat ein h als Faktor.
Läßt Du nun h gegen Null gehen, also die beiden Punkte miteinander verschmelzen, bleibt als Steigung nur noch der einzige Summand ohne h übrig; das ist n*x^(n-1).
Da diese Steigung nur noch von x abhängig ist und nicht mehr von x+h, hast Du so nicht nur die Steigung an einer ganz bestimmten Stelle des Graphen gefunden, sondern die Ableitungsfunktion f'(x), die Dir nun zu jedem beliebigen x die dazugehörige Steigung nennt von f(x)=x^n.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Polynomdivision kann ich nachvollziehen und auch der Grund warum bei dieser das Ergebnis bis ins Unendliche geht ist mir auch ersichtlich.
Geht es nicht und darum verstehst Du auch die nächste Zeile mit den 3 Pünktchen "..." nicht. Der letzte Term ist x0m-1. Die drei Punkte stehen für weitere Terme, in denen jeweils die Potenz von x um 1 fällt und die von x0 jeweils um 1 wächst. Gefolgert wird da nichts.
Dabei wird aber dann jene Reihung schlussendlich zu m*(x_0)^m-1 zusammengefasst, was ich nicht ganz verstehe.
Nun ja - Potenzgesetz für jedes einzelne Glied der Summe
und das insgesamt "m" mal.
ok, also dass nach "..." x_0^(m-2)*x + x_0^(m-1) steht hängt damit zusammen, dass das immer das gängige Muster ist wenn man das Verfahren mit konkreten Beispielen, wie f(x)=x^5 durchführen würde. Somit gehe ich mal davon aus, dass hier beim ersten Teil mit (x_0)^2 * x^(m-3) der Exponent von x_0 immer weiter steigen wird während der Exponent von x immer weiter sinkt.
Wenn man dann also annehmen würde, dass m einen konkreten Wert annimmt, dann würde das x, wessen Exponent ja bekanntlich weiter sinkt, irgendwann so weit sinken bis der konkrete Wert von m erreicht ist und x dann insgesamt den Exponenten 0 annimmt.
Währenddessen, wenn man annehmen würde, dass m einen konkreten Wert annimmt, dann würde der Exponent von x_0 ja bekanntlich weiter steigen. Konkret steigt dieser Exponent dann soweit an bis er den den Anfangsexponenten von der Ursprungsfunktion subtrahiert mit 1 darstellen würde.
Der anfangs von mir gefragte Zusammenhang von ... x_0^(m-2)*x + x_0^(m-1) ergibt sich also daraus, das man weiß, dass m praktisch einen konkreten Wert annehmen könnte, wodurch sich automatisch jenes Muster ergeben würde.
Dieses Muster von ... x_0^(m-2)*x + x_0^(m-1) ergibt sich also laut Rechnung aus dem Beenden der Polynomdivision, was sich also rechnerisch nicht exakt konkret nachweisen lässt, da ja in dem Mathebuch die Rechnung unendlich weiter gehen würde, insofern m keinen konkreten Wert annimmt.
Auf die Existenz des Terms ... x_0^(m-2)*x + x_0^(m-1) kommt man also unter anderem indem man Beispielrechnungen zu Funktionen, wie: f(x) = x^7; f(x) = x^10 etc. fortführen würde und stets jenes Muster am Ende der Polynomdivision vorfinden würde.
Habe ich das so richtig verstanden?
Ich finde, dass man das eigentlich nur richtig so erkennen kann, wenn man mehrere Beispielrechnungen zu Funktionen mit hohem Exponenten vorliegen hat.
Wäre es also schlauer, dass ich in meiner Seminararbeit auch eine oder mehrere Beispielrechnungen durchführe, bevor ich auf die allgemeine Herleitung komme? Auf diese Weise könnte man glaub ich besser den Grund für ... x_0^(m-2)*x + x_0^(m-1) nachvollziehen
Den zweiten Teil meiner Anfangsfrage, mit dem Hintergrund, dass m die Anzahl der Summanden angibt, kann ich nun nachvollziehen. Danke!
ok, also dass nach "..." x_0^(m-2)*x + x_0^(m-1) steht hängt damit zusammen, dass das immer das gängige Muster ist wenn man das Verfahren mit konkreten Beispielen, wie f(x)=x^5 durchführen würde. Somit gehe ich mal davon aus, dass hier beim ersten Teil mit (x_0)^2 * x^(m-3) der Exponent von x_0 immer weiter steigen wird während der Exponent von x immer weiter sinkt.
Wenn man dann also annehmen würde, dass m einen konkreten Wert annimmt, dann würde das x, wessen Exponent ja bekanntlich weiter sinkt, irgendwann so weit sinken bis der konkrete Wert von m erreicht ist und x dann insgesamt den Exponenten 0 annimmt.
Währenddessen, wenn man annehmen würde, dass m einen konkreten Wert annimmt, dann würde der Exponent von x_0 ja bekanntlich weiter steigen. Konkret steigt dieser Exponent dann soweit an bis er den den Anfangsexponenten von der Ursprungsfunktion subtrahiert mit 1 darstellen würde.
Der anfangs von mir gefragte Zusammenhang von ... x_0^(m-2)*x + x_0^(m-1) ergibt sich also daraus, das man weiß, dass m praktisch einen konkreten Wert annehmen könnte, wodurch sich automatisch jenes Muster ergeben würde.
Dieses Muster von ... x_0^(m-2)*x + x_0^(m-1) ergibt sich also laut Rechnung aus dem Beenden der Polynomdivision, was sich also rechnerisch nicht exakt konkret nachweisen lässt, da ja in dem Mathebuch die Rechnung unendlich weiter gehen würde, insofern m keinen konkreten Wert annimmt.
Auf die Existenz des Terms ... x_0^(m-2)*x + x_0^(m-1) kommt man also unter anderem indem man Beispielrechnungen zu Funktionen, wie: f(x) = x^7; f(x) = x^10 etc. fortführen würde und stets jenes Muster am Ende der Polynomdivision vorfinden würde.
Habe ich das so richtig verstanden?
Ich finde, dass man das eigentlich nur richtig so erkennen kann, wenn man mehrere Beispielrechnungen zu Funktionen mit hohem Exponenten vorliegen hat.
Wäre es also schlauer, dass ich in meiner Seminararbeit auch eine oder mehrere Beispielrechnungen durchführe, bevor ich auf die allgemeine Herleitung komme? Auf diese Weise könnte man glaub ich besser den Grund für ... x_0^(m-2)*x + x_0^(m-1) nachvollziehen
Den zweiten Teil meiner Anfangsfrage, mit dem Hintergrund, dass m die Anzahl der Summanden angibt, kann ich nun nachvollziehen. Danke!